Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дополнительные главы математики

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Заметим, что полученное преобразование Фурье можно преобразовать

так, чтобы устранить экспоненту в мнимой степени:

1	e	i	1

2		i

1	(cos i sin ) 1
2	i

1 2

sin

1 cos

 

При этом, можно было изначально вычислять с помощью синуса и косинуса, и получилось бы то же самое:

1	1
1	e	i x	dx
		i x
2
2	0
	0

	1	1
		cos(x) i sin( x)dx
	2
		0

1sin( x)

	i	cos(x)
	i

  

1 2

sin

	i	cos
	i

Задача 26. Дана функция

f (x)

e	x

1)Найти её преобразование Фурье

2)Представить эту функцию в виде интеграла Фурье.

Решение. Здесь на каждой полуоси можно записать функцию без модуля, и найти сумму двух интегралов.

f (x) e	x		e	x , x 0
	x	=
		=			x	, x 0
		e			x

Преобразование Фурье:

F () =

1	0
1			(1 i ) x					(1 i ) x
		e	(1 i ) x		dx		e	(1 i ) x		dx
2		e			dx		e			dx
2						0
						0
1	1 0				0 1			=	1
2	1 i							=	2
2	1 i			1 i					2		1
1	(1 i) (1 i)								=		1
									=
2	(1 i)(1 i)										2
2	(1 i)(1 i)										2

	1			0

					e	x	e	i x	dx			e		x	e	i x	dx
	2				e		e		dx			e			e		dx
	2										0
											0
		1				(1 i ) x			0			e	(1 i ) x
=		1		e								e
=		2			1 i						(1				i )
		2			1 i						(1				i )
																		0
1					1
i								=
i			1 i
	2				=			2	1			.
(1			2	)	=			1		2		.
			2							2

Интеграл Фурье:

		1
f (x)		1
		2



Ответ.	2		1
Ответ.		1		2
				2

f (x
	2

,	f

	1
)	1		F ( )e						i x	d
									i x
	2
	2

1											1	e	i x
1	2 e	i x		d		f (x)					1	e		2 d
		i x
1												1
1												1

	1			e	i x
(x)	1			e			2	d .
				1			2

2.2. Синус-преобразование и косинус-преобразование Фурье

Задача 27.			Найти синус-преобразование Фурье		FS для функции
	e	x
f (x)	e		, заданной на (0, ) .
f (x)		x	, заданной на (0, ) .
		x
							e x
						2	e x

Решение. По определению, надо найти				F ( )				sin( x)dx .
				s		0 x
						0 x

Для интегрирования по частям удобнее, чтобы было 2 множителя, а не

3. Здесь можно добиться упрощения выражения, если применить

дифференцирование по параметру

Fs ( )

sin( x)

2 e xx0

x cos( x)dx =

2
		e	x	cos(x)dx


	0

это действие устраняет деление на

. Теперь это

- обычный циклический интеграл. Обозначим I e x cos( x)dx .

Коэффициент пока не будем записывать, добавим его перед самым ответом. Проинтегрируем по частям в 2 шага.

u e

sin( x)

cos( x)

I e

cos(x)dx

sin( x)

sin( x)dx

(0 0)

sin( x)dx . 2-й шаг:

u e	x

u e x

v	1	cos(x)


v sin( x)

	1
I 0	1	e	x	sin( x)dx
			x

		0
		0

	1	e	x			1
=	1	e		cos(x)		1		e	x	cos(x)dx



					0		0

1		1	I
					.

1			1			I
	2			2

I 21

Итак,	I		1		1		1			I


	1		1			I	1
				2				2


1 . Тогда									2

		Fs ( )

			1
				2
				2

				2

	1
	2	1

1		I
	2

	1	I
	2	I
	2
	F
		S

1
	2

( )

(			2	1)I
(				1)I
	2	arctg(
		arctg(

) .

Ответ.

F	( )
S

arctg( )

Задача

f (x)

28. Найти косинус-преобразование Фурье

		1	.
x	2	25	.
	2

FС

для функции

Решение. Заметим, что функция чётная, то есть, можно распространить с полуоси на всю ось:

		2				1
С	( )	2			2	1	cos(x)dx
F	( )					25	cos(x)dx
				x		25
			0

1	2	cos(x)
1	2	cos(x)
					dx
2		x	2	25	dx

1	cos(x)

				dx
2	x	2	25

и видим, что косинуспреобразование Фурье

чётной функции совпало с обычным преобразованием Фурье, что,

кстати, и следует из теории.

Интеграл

1	cos(x)

				dx
2	x	2	25

можно найти с помощью вычетов в

верхней полуплоскости.

Там один из двух полюсов, а именно,

1 2

	cos(x)
	cos(x)					dx
						dx
	x	2	25
	x		25

				e	i z
Re	2		i	e
Re	2		i	z 5i
				z 5i

  

  5i

1
		Re		2
	2
	2
		1
=
=			Re
		2
		2

	ei z
i Re s		=


z 5i	(z 5i)(z 5i)

	e	5		1		e	5
2 i			=		Re
	10i			2			5
	10i			2			5

1	e	5

2		5

	e	5
	e
2		5

					e	5
Ответ.	FС				e	.
Ответ.	FС			2		.
				2		5
Задача 29. Найти синус-преобразование Фурье							FS	для функции
f (x)			x	.
f (x)	x	2	25	.
		2

Решение. В отличие от прошлой задачи, здесь функция нечётная.

F ( )

sin(

x)dx

sin( x)dx

0 x 25

x 25

x sin( x)

i z

(z 5i)(z 5i)

i z

5ie

Im ie 5 =

2 i

z 5i

10i

z 5i

1	e	5

2

Ответ.		Fs

Задача 30.

f (x) (x2

=		e	5	.

	2

( )		e	5	.

	2

Найти косинус-преобразование Фурье

1 1)2 .

FС

для функции

Решение. В отличие от прошлой задачи, здесь будет полюс не 1-го, а

2-го порядка.

cos(x)

F ( )

(x2 1)2

1 2

cos(x)

2 i Re

i z

(z i)

i e

i z

(z i)

2(z

i)e

i z

(z i)

i e

(2i)

2(2i)e

2 i

(2i)

4i e

4ie

2 i

16i

s	(z
i

 z i

e		i z
					=
i)	2		(z i)	2	=
	2			2

2 i	4i
2 i		( e e ) =
	16

1						2				1	e														=					2						1	e			( 1)								=			2					e				( 1)
		2		Re		2					e						( 1)								=						2						e			( 1)								=								e				( 1)
		2								4																					2					4															4
Ответ.					FС ()														2		e				(1 ) .

																			4
																			4
Задача 31. Найти синус-преобразование Фурье FS																																																							для функции
	f (x)								x						.
	f (x)				(x		2		1)			2			.
							2					2

																				2										x
Решение.									Fs ( )											2										x						sin( x)dx											=
																											2							2
																									(x		2			1)				2


																					0
1			2								x																										1						x sin( x)
1			2								x																										1						x sin( x)
																2 sin( x)dx															=																					dx						=
2								(x		2			1)			2 sin( x)dx															=						2						(x			2		1)		2		dx						=

1																					ze																	1																ze
1																					ze		i z															1																ze			i z
						2 i Re s																														=						Im					2		i													=
				Im		2 i Re s																2										2				=						Im					2		i										2			=
		2										z i						(z i)				2		(z i)								2							2													(z i)							2
		2										z i						(z i)						(z i)															2													(z i)
																																																													z i
1											(e			i z					zi e				i z			)(z i)										2	2(z i)ze											i z
1						2				i	(e								zi e							)(z i)											2(z i)ze																			=
				Im		2				i																									4																					=
		2																									(z i)								4
		2																									(z i)																						z i
																																																	z i
1											(e								e						)(2i)						2		2(2i)ie
1						2					(e								e						)(2i)								2(2i)ie												=
				Im						i																4				4
		2		Im						i															2	4		i		4
		2																							2			i
1											(e								e						)( 4) 4e
1											(e								e						)( 4) 4e
																																									=
				Im 2 i																																					=
		2																				16
		2																				16
1						2 i 4e														(1	)								4e												1			2 e									(1 ) e
1				Im																(1	)								4e								=				1												(1 ) e									=
				Im																																	=																									=
		2																			16																				2																4
		2																			16																				2																4

2	(e		e	e		)	=	2	e	.

4								4
4								4
Ответ.		Fs ()		2	e			.

				4
				4

Задача 32. Найти косинус-преобразование Фурье

			x	2
f (x)			x				.
f (x)	(x	2			1)	2	.
		2				2

FС

для функции

Решение.

	2				x	2
F ( )			(x		1)			cos(x)dx
С			(x	2	1)		2
С				2			2
		0

1	2			x	2
			2				2	cos(x)dx
2		(x	2			1)	2	cos(x)dx

1 2

		x	2

(x	2			1)	2
(x				1)

cos(x)dx

, далее с

помощью вычетов.

1		2
	Re	2
2
2

1		2
2	Re	2
2

1
1	Re	2
2	Re	2



1
	Re 2
	Re 2
2
2

		z	2			i z
i Re s					e

	(z i)	2	(z i)	2
z i

i z

(z i)

z i

2z(z i)

2(z i)z

(z i)

2i( 4) 2(2i)( 1)

24 i 4


		=
		=

i z

(z i)

( 1)i

z i

  

1
	Re 2
2
2
1
	Re 2
2
2

8i 4i			e
i
	16
	1
e
	4	4

i
	e
4
4

2	e

2

=		1
=		2
		2
1	1
4	1
4


	Re 2


	=	2
	=	4
		4

ie		i
ie
		4
(1 )e
(1 )e

i

4

Ответ.	2		(1 )e			.

	4
	4
Задача 33. Найти косинус-преобразование Фурье								FС	для функции
f (x)		1			.
f (x)	2			3	.
(x	2		1)	3
(x			1)
Решение. Здесь полюс						z i	порядка 3, так что с решение будет
помощью 2-й производной.

	2				1
F ( )			(x		1)		cos(x)dx
С			(x	2	1)	3
С				2		3
		0

1	2			1
			2		3	cos(x)dx
2		(x	2	1)	3	cos(x)dx

1 2



Re

(x2 1)3

2		i Re s
			z i
1	2
	2		i
2!				(
2!				(

cos( x)dx , далее с помощью вычетов.

		1
							i z
						e			=
(z i)		3	(z i)		3	e			=
		3			3


1
				i z
		e						=
z i)	3	e						=
	3

					z	i

i z

(z i)

z i

	1									12						e							3i							e								3i				e					i 2 2
			Re			i										e	i z													e	i z											e	i z
	2						(z i)								5							(z i)						4									(z i)				4					(z i)		3
	2						(z i)															(z i)															(z i)									(z i)
			1											12												6i														2
=					Re			i											e	i z													e		i z									e	i z
=			2		Re			i			(z i)							5	e						(z i)						4		e						(z i)				3	e
																		5													4												3
																																															z i
		1									12										6i																	2
=				Re			i								e												e												e				=

		2							2			5	i	5								2	4	i	4									2		3	i	3
												5		5									4		4											3		3

			1										12							6i												2
=					Re		ie																														=

			2												32i							16							8i

	i z
e	i z
e

		z i
		z i

  

=		1
		2

		e

	2

Ответ.

Задача

f (x)

			12			6				2							12	6	2
Re	ie										=					e				=
Re	ie										=					e				=
			32i			16i								2			32 16		8
			32i			16i				8i				2			32 16		8
12 12 4				2					3 3			2
12 12 4					=				3 3				e		.

	32						2			8
	32						2			8
	3 3				2
	3 3					e		.

2		8
2		8
34. Найти преобразование Фурье от функции:
1 , x [a, a]

0, x [a, a]

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023650.24 Кб1Дополнительные главы макроэкономики..pdf
#
05.02.2023428.66 Кб3Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике-1.pdf
#
05.02.2023371.47 Кб6Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике.pdf
#
05.02.2023324.51 Кб1Дополнительные главы математики.-1.pdf
#
05.02.20231.6 Mб0Дополнительные главы математики.-2.pdf
#
05.02.20231.98 Mб1Дополнительные главы математики..pdf
#
05.02.2023827.15 Кб0Дополнительные главы микроэкономики.-1.pdf
#
05.02.20231.1 Mб1Дополнительные главы микроэкономики..pdf
#
05.02.20232.38 Mб8Еnglish for students of Engineering Faculties (basic level)..pdf
#
05.02.2023122.97 Кб3Жанровая организация PR-текста.-1.pdf
#
05.02.2023290.82 Кб2Жанровая организация PR-текста..pdf