Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Дополнительные главы математики

..pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
1.98 Mб
Скачать

Но если

z i

то

dz id

т.е. d

dz

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

i

1

 

 

1

 

 

1

 

 

1

e

zx

Тогда

 

 

 

 

 

e

i x

d =

 

e

zx

dz

=

2

i Re s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

i

 

2

 

 

i

2

i 1

z

 

 

 

 

 

 

i

1 z

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

zx

 

 

= e x . Обратите внимание, что это совпало с исходной

 

 

Re s

 

 

 

 

 

1 z

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функцией из задачи 16 в тех точках, где она отлична от 0.

 

 

 

 

Ответ.

e

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Более того, даже если бы мы вычислили преобразование Фурье от

0

, x A

при любой граничной точке А, и получили бы

f (x)

 

e x , x A

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

e

(1 i ) x

 

 

1

1

(0 e

(1 i ) A

) =

 

 

 

 

 

 

=

 

 

i

2

 

i

2

 

1

 

 

A

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

e (1 i ) A , и затем искали обратное преобразование, то

 

 

 

 

 

 

1 i

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

всё равно получили бы то же самое:

1

 

1

 

 

 

 

 

1

 

i

1

(1 z) A

 

zx 1

 

 

 

 

e (1 i ) Aei x d

= 2

 

1 z e

 

e

i dz

=

2

1 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

i Re s

1 e (1 z) Ae zx

= Re s

e (1 z) Ae zx

= e x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

i 1 z

 

1 z

 

 

z 1

 

z 1

 

 

 

 

 

=

21

В следующей серии задач мы повторим комплексный ряд Фурье, а также будем находить преобразование Фурье для тех же самых функций, чтобы сравнить.

Задача 18. Представить в виде комплексного ряда Фурье функцию:

f (x) 1

на интервале

( 1,1)

.

Решение. Вспомним формулы:

f

c0

1 n

(x) c

 

 

 

0

 

1

1

 

 

dx

2

 

1

 

 

e

in

e

 

 

 

 

 

2i

 

 

in x

 

 

 

 

cn e

l

, где c0

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

= 1.

cn

 

 

e

in x

dx

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

in

 

1

 

 

 

 

 

 

 

=

 

sin( n ) 0

 

n

 

 

 

 

 

 

 

1

 

l

 

 

 

f (

2l

l

 

 

 

 

=

 

1

 

 

 

2in

. Итак,

 

 

 

 

 

1

 

l

 

 

in x

 

x)dx , cn

 

 

 

 

 

l

dx .

 

 

 

f (x)e

 

 

 

 

 

 

2l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

in x

1

 

 

 

 

e

in

e

in

 

 

e

=

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2in

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cn

0

, ряд состоит лишь из

одной константы. Ответ. 1.

Задача 19. Найти преобразование Фурье от функции:

f (x)

1

,

 

,

0

 

 

x x

( 1,1)( 1,1)

.

 

 

1

 

 

Решение. F ( )

 

 

f (x)e i x dx =

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

e

i x

dx

 

2

 

1

 

 

 

 

 

=

 

1

2

 

1

e

i x

1

 

 

i

 

1

 

 

=

1

e

i

e

i

 

 

2

 

i

 

=

2

e

i

e

 

2

 

 

2i

i

=

2

 

 

sin

.

В отличие от 18-А, здесь не sin( n ) , а sin( )

для произвольного

действительного числа , и он не равен 0.

Задача 19-Б. Представить эту же функцию интегралом Фурье.

22

Решение. Если мы нашли преобразование Фурье, то нетрудно записать интеграл Фурье следующим образом: подставить найденное

преобразование Фурье в формулу

f (

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

F ( )e

i x

d

f (x)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

e

i x

d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x)

1 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( )e

i x

d .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin

 

 

 

 

 

 

e

i x

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Это интеграл Фурье в комплексной форме. А можно ещё преобразовать экспоненту по формуле Эйлера и свести к интегралу Фурье в действительной форме:

 

1

 

sin

 

 

 

f (x)

 

e

i x

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

sin

 

 

1

 

sin

 

f (x)

 

cos( x)d i

 

sin( x)d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но функция

sin

чётна по

(отношение двух нечётных), тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нечётная функция по за счёт sin( x) во 2-м слагаемом, и оно = 0.

А в 1-м чётная, сводится к удвоенному интегралу по полуоси.

 

1

 

sin

 

f (x)

 

cos( x)d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

2

 

sin

 

 

0

 

cos(x)d

.

Задача 20. Представить в виде комплексного ряда Фурье функцию:

23

f (x) x

на интервале

( 1,1)

.

Решение. Найдём коэффициенты. c0

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

cn

 

xe

in x

dx

нужно интегрирование

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

1

 

xdx

=

1

x

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«по частям».

  

= 0.

u x u 1

v

 

1

e

in x

 

 

in

 

 

 

 

v e

in x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

1

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

cn

 

xe

in x

dx

=

 

 

e

in x

 

 

 

 

e

in x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

in

 

 

 

 

in

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

e

in

( 1)e

in

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

e

in

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

in x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 e

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

in

 

 

i

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

in

2

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-е слагаемое можно преобразовать к cos, 2-е к sin.

=

in

 

e

in

 

e

in

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ein

e in

2

 

ein

e in

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

2

 

in

 

 

2i

 

n

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

sin( n )

2i

 

 

2

cos(n )

in

2

 

2

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

2

0

 

 

cos(n )

in

 

2

 

 

 

=

 

i

 

i( 1)n

 

i( 1)n

 

cos(n )

 

=

 

. Тогда ряд: f (x)

 

ein x .

n

n

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

24

 

 

i( 1)

n

 

 

Ответ.

f (x)

e

in x

.

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

Задача 21. Найти преобразование Фурье от функции:

x , x ( 1,1)

 

f (x)

.

0 , x ( 1,1)

 

Решение.

 

1

 

 

 

 

F ( )

 

f (x)e

i x

dx

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

1

 

 

xe

i x

dx

 

2

 

1

 

 

 

 

 

здесь тоже, как и в прошлом примере, нужно интегрирование по частям, но в конце получится слагаемое с sin , и оно не исчезает, в

отличие от sin( n ) .

u x

 

 

 

 

v

1

e i x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 1

 

v e

i x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

xe i x dx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

e i x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

i

 

 

 

 

1

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

e

i

( 1)e

i

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

i x

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

i

 

 

 

 

i

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

ei

e i

 

 

ei e i

 

 

1

 

 

e

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

e

i x

dx

 

=

 

 

1

 

 

 

 

1

e

i

e

i

 

e

i

e

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i e i

2

 

ei e i

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

i

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

25

=

1

 

2

2

 

i

 

 

2i

cos

2

 

 

 

Ответ. F (

cos

2i

 

=

1

 

2

sin

2

 

 

 

 

 

 

 

sin

=

2

cos

 

 

 

2

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

2

cos

 

sin

 

 

 

i

 

 

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

cos

2i

 

 

 

 

2

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

2

.

 

 

=

Задача 21-Б. Представить эту же функцию интегралом Фурье.

Решение. Используя найденное в прошлом пункте преобразование

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фурье и формулу

 

 

f (x)

 

 

 

 

F ( )e

i x

d , получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

sin

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei x d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

cos

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

i x

d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

cos

 

sin

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

i x

d .

Ответ.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В лекции было доказано (свойство 5): если для непрерывной

функции

lim

f (x) 0

то

Ф f

 

 

 

 

 

 

(x) i F( ) . Но если функция

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

задана только на конечном интервале, то слагаемое, которое исчезало в 0 в том случае, не исчезает.

26

Задача 22. Доказать формулу:

Ф f (x) i F ( )

f (b)e

i b

f (a)e

i a

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

для функции:

 

f (x) , x (a,b)

f (x)

0

, x (a,b)

 

 

 

Решение.

Ф f

 

1

 

(x) =

2

 

 

u e i x

u i e i x

b

 

 

 

i x

 

 

f

 

 

dx . Интегрирование по частям:

 

 

 

 

(x)e

 

 

a

 

 

 

 

 

 

v

 

 

f (x)

 

 

v

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

b

 

i x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

dx =

 

 

 

 

 

f (x)e

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( f (b)e

i b

f (a)e

i a

) i

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (b)e

i b

f (a)e

i a

 

F ( )

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (b)e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. Ф f (x) i F ( )

 

 

 

i x b

 

b

i f (

a

 

a

 

 

 

i x

 

f (x)e

dx

 

 

 

 

 

 

 

i b

f (a)e

i a

 

 

 

2

 

 

 

 

x)e

i x dx

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

Существует понятие свёртки функций, определяемое следующим

образом: f g f ( )g(x )d .

27

Задача 23. Доказать, что если рассматривать преобразование Фурье

свёртки без коэффициента

1 2

(обозначим

Ф

, F

1

1

соответственно),

то оно равно произведению аналогичных преобразований двух исходных функций: Ф1 f g F1 ( )G1 ( ) .

Решение.

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

( )g(x )d

 

i x

 

e

dx

 

 

 

 

 

 

 

. Это двойной интеграл. Мы

можем изменить порядок интегрирования. Причём здесь не надо пересчитывать границы, ведь оба интеграла по всей оси.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i x

 

 

 

 

 

 

 

 

i x

 

 

 

 

 

f ( )g(x )e

 

dx

 

d

=

 

g(x )e

 

 

dx

 

d .

 

 

 

 

 

f ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вынесли f ( )

во внешний интеграл, как величину, не зависящую от

переменной x .

Здесь во внутреннем интеграле можно применить

свойство 3 - сдвиг по аргументу:

Ф1 g(x a) e

i a

G1

( ) .

 

 

 

f ( ) e

 

G1 ( ) d

 

 

 

 

 

 

i

= G1 ( )

 

f ( )e

i

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= G1 ( )F1 ( )

.

Замечание.

Ф f

g

2 F ( )G( )

, если рассматривать исходное

определение с коэффициентом

1 2

.

28

Задача 24. Доказать свойства:

[ f (x) cos x]

1

[F ( ) F ( )]

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ f (x) sin x]

1

[F ( ) F ( )]

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

[ f (x) cos x] =

 

 

f (x) cos( x)e

i x

dx

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

e

i x

 

e

i x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

e

i x

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)e

i x

e

i x

dx

 

 

f (x)e

i x

e

i x

dx

 

=

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)e

i( ) x

dx

 

 

f (x)e

i( ) x

dx

 

=

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

[F ( ) F ( )] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Аналогично,

[ f (x) sin x]

 

 

1

 

 

=

 

 

f (x) sin( x)e i x dx =

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

ei x

e i x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

e i x dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)e

i x

 

i x

dx

f (x)e

i x

 

i x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

e

 

dx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

1

1

 

 

 

 

 

 

 

f

2i

2

 

 

 

 

 

 

 

1

[F ( )

2i

 

 

 

 

Задача 25.

(x)e

i( ) x

dx

 

F ( )].

Дана функция

f

f (x)e

i(

 

1

, x

(x)

, x

0

 

 

 

 

 

 

) x

dx

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0,1)

.

(0,1)

 

1)Найти её преобразование Фурье

2)Представить эту функцию в виде интеграла Фурье.

Решение. Найдём преобразование Фурье.

1

1

 

 

1

1

e

i

1

 

i

e

 

i x

 

 

e

=

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

2

i

 

2

 

i

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представим в виде интеграла Фурье.

 

 

 

1

1

F () =

 

 

e i x dx =

 

 

 

2

 

 

 

0

 

 

 

 

i

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя формулу

 

1

 

 

i

 

 

f (x)

 

 

 

2

 

2

 

 

 

Ответ.

F () =

 

i

 

2

 

 

 

 

e

f (x)

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

e

i

1

 

 

i x

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

1

 

 

 

 

 

 

,

 

f (x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (

 

 

d =

)

i

 

2

)e

i x

d , получим:

 

 

 

 

 

i

 

 

e

i

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i x

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e i

1

 

 

 

 

 

 

 

i x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d .

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

30