Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дополнительные главы математики

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Но если

z i

то

dz id

т.е. d

Тогда

i x

d =

i Re s

i 1

1 z

z 1

= e x . Обратите внимание, что это совпало с исходной

Re s

1 z

z 1

функцией из задачи 16 в тех точках, где она отлична от 0.

Ответ.

Более того, даже если бы мы вычислили преобразование Фурье от

0	, x A	при любой граничной точке А, и получили бы
f (x)		при любой граничной точке А, и получили бы
e x , x A

	1	1		e	(1 i ) x			1	1	(0 e	(1 i ) A	) =
					(1 i ) x	=					(1 i ) A
	i	2				=		i	2
1	i	2				A	1	i	2
						A
1		1	e (1 i ) A , и затем искали обратное преобразование, то

1 i
		2
		2

всё равно получили бы то же самое:

(1 z) A

zx 1

e (1 i ) Aei x d

= 2

1 z e

i dz

1 i

i Re s

1 e (1 z) Ae zx

= Re s

e (1 z) Ae zx

= e x .

i 1 z

1 z

z 1

В следующей серии задач мы повторим комплексный ряд Фурье, а также будем находить преобразование Фурье для тех же самых функций, чтобы сравнить.

Задача 18. Представить в виде комплексного ряда Фурье функцию:

f (x) 1

на интервале

( 1,1)

Решение. Вспомним формулы:

1 n

(x) c
			0
	1	1
	1	dx
	2	dx
	2	1
		1
e	in		e
e			e
			2i

		in x
cn e			l		, где c0
cn e					, где c0
n
				1	1
= 1.	cn			1		e	in x	dx


				2
				2	1
					1
in		1
	=	1		sin( n ) 0
	=	n		sin( n ) 0
		n

1	l
1		f (
2l		f (
2l	l
	l
=		1
=
	2in

. Итак,

in x

x)dx , cn

dx .

f (x)e

in x

2in

, ряд состоит лишь из

одной константы. Ответ. 1.

Задача 19. Найти преобразование Фурье от функции:

f (x)

1	,
	,
0	,

x x

( 1,1)( 1,1)

	1
Решение. F ( )	1	f (x)e i x dx =

	2
	2

1	1
1	e	i x	dx
		i x
2
2	1
	1

		1
		2
		2

1	e	i x	1

i			1

1	e	i	e	i

2		i

2	e	i	e

2			2i

	=	2
	=

sin

В отличие от 18-А, здесь не sin( n ) , а sin( )

для произвольного

действительного числа , и он не равен 0.

Задача 19-Б. Представить эту же функцию интегралом Фурье.

Решение. Если мы нашли преобразование Фурье, то нетрудно записать интеграл Фурье следующим образом: подставить найденное

преобразование Фурье в формулу										f (
		1
f (x)		1		F ( )e			i x	d	f (x)
							i x
		2
		2

	1		sin
f (x)	1		sin		e	i x	d .

1 2

1
1		F ( )e		i x		d .
				i x
2
2

	2 sin
	2 sin		e		i x		d
					i x

Замечание. Это интеграл Фурье в комплексной форме. А можно ещё преобразовать экспоненту по формуле Эйлера и свести к интегралу Фурье в действительной форме:

	1	sin
f (x)	1	sin	e	i x	d
				i x

	1	sin				1	sin
f (x)				cos( x)d i				sin( x)d



Но функция			sin		чётна по	(отношение двух нечётных), тогда

нечётная функция по за счёт sin( x) во 2-м слагаемом, и оно = 0.

А в 1-м чётная, сводится к удвоенному интегралу по полуоси.

	1	sin
f (x)			cos( x)d

f (x)

		sin


	0

cos(x)d

Задача 20. Представить в виде комплексного ряда Фурье функцию:

f (x) x

на интервале

( 1,1)

Решение. Найдём коэффициенты. c0							1
Решение. Найдём коэффициенты. c0							2
							2
	1	1
cn	1		xe	in x	dx	нужно интегрирование
				in x
	2
	2	1
		1

1						2	1
	xdx	=	1	x
			2		2


1							1

«по частям».

  

= 0.

u x u 1

v		1	e	in x
				in x
	in
	in
v e		in x
v e

		1	1						1		x					1		1		1
cn		1	xe		in x	dx		=	1		x		e	in x				1		e		in x		dx
					in x									in x								in x
		2							2	in								in
		2	1						2	in						1		in		1
																1
1	e	in		( 1)e			in				1						1		1		e		in	e

															in x
													2 e					=


				in					i	2		2											in
2											n						1		2
2											n						1		2

1-е слагаемое можно преобразовать к cos, 2-е к sin.

in	e	in		e		in
			2		2
		n	2		2
		n

1	ein	e in	2		ein	e in		2i
										=
								2		=
2		2		in		2i	n	2	2
2		2		in		2i	n

1		2	sin( n )	2i
2	cos(n )	in		2	2
			n

1		2	0
	cos(n )	in	0
2		in

	i		i( 1)n		i( 1)n
cos(n )		=		. Тогда ряд: f (x)		ein x .
cos(n )	n	=	n	. Тогда ряд: f (x)	n	ein x .
				n
				n 0

		i( 1)	n
Ответ.	f (x)	i( 1)	e	in x	.
				in x
		n
	n	n
	n
	n 0

Задача 21. Найти преобразование Фурье от функции:

x , x ( 1,1)
f (x)	.
0 , x ( 1,1)

Решение.

	1
F ( )	1	f (x)e	i x	dx
			i x
	2
	2

1	1
1	xe	i x	dx
		i x
2
2	1
	1

здесь тоже, как и в прошлом примере, нужно интегрирование по частям, но в конце получится слагаемое с sin , и оно не исчезает, в

отличие от sin( n ) .

u x					v	1			e i x
						1

							i
							i

u 1					v e			i x
								i x

																				1
	1		1								1				x					1		1
	1			xe i x dx					=		1				x		e i x					1
				xe i x dx					=								e i x
	2		1								2		i							1		i
			1																	1
	1			e	i	( 1)e				i				1						1
	1			e		( 1)e								1				e	i x			=
																			i x
	2					i						i		2		2
	2					i						i
																				1
																				1
	1			ei		e i					ei e i									1		e
=																			=
=														2					=
		2			i									2							2
		2			i																2

1
e	i x	dx	=
e		dx	=
1

1	e	i	e	i	e	i	e		i
								2
2		i						2
2		i

i e i	2	ei e i	2i

				2
2	i	2i		2
2	i	2i

=	1	2
	2	i

2i	cos
2

Ответ. F (

cos	2i			=	1
		2	sin		2

	sin			=	2	cos
		2		=		i



)		2	cos				sin
)			i					2	.

2i	cos	2i
	cos		2	sin

sin
	2	.

Задача 21-Б. Представить эту же функцию интегралом Фурье.

Решение. Используя найденное в прошлом пункте преобразование

Фурье и формулу

f (x)

F ( )e

i x

d , получим:

cos

sin

f (x)

ei x d

cos

sin

f (x)

i x

d .

cos

sin

f (x)

i x

d .

Ответ.

В лекции было доказано (свойство 5): если для непрерывной

функции

lim

f (x) 0

то

Ф f

(x) i F( ) . Но если функция

задана только на конечном интервале, то слагаемое, которое исчезало в 0 в том случае, не исчезает.

Задача 22. Доказать формулу:

Ф f (x) i F ( )		f (b)e		i b		f (a)e	i a

						2

для функции:		f (x) , x (a,b)
	f (x)		0		, x (a,b)

Решение.

Ф f		1

	(x) =	2

u e i x

u i e i x

b				i x
	f			i x	dx . Интегрирование по частям:

		(x)e
a
v
v			f (x)
v			f (x)

i x

(x)e

dx =

f (x)e

( f (b)e

i b

f (a)e

i a

) i

f (b)e

i b

f (a)e

i a

F ( )

f (b)e

Ответ. Ф f (x) i F ( )

i x b		b
i x b	i f (
a	i f (
a		a
		a
	i x
f (x)e	i x	dx
f (x)e		dx

i b	f (a)e	i a
	f (a)e
	2


x)e	i x dx	=


=

Существует понятие свёртки функций, определяемое следующим

образом: f g f ( )g(x )d .

Задача 23. Доказать, что если рассматривать преобразование Фурье

свёртки без коэффициента

1 2

(обозначим

Ф	, F
1	1

соответственно),

то оно равно произведению аналогичных преобразований двух исходных функций: Ф1 f g F1 ( )G1 ( ) .

Решение.


		f

( )g(x )d

	i x
e	i x	dx
e		dx

. Это двойной интеграл. Мы

можем изменить порядок интегрирования. Причём здесь не надо пересчитывать границы, ведь оба интеграла по всей оси.

i x

f ( )g(x )e

g(x )e

d .

f ( )

Вынесли f ( )

во внешний интеграл, как величину, не зависящую от

переменной x .

Здесь во внутреннем интеграле можно применить

свойство 3 - сдвиг по аргументу:

Ф1 g(x a) e

i a

( ) .

f ( ) e		G1 ( ) d
	i		= G1 ( )	f ( )e	i	d
	i				i

= G1 ( )F1 ( )

Замечание.

Ф f

g	2 F ( )G( )

, если рассматривать исходное

определение с коэффициентом

1 2

Задача 24. Доказать свойства:

[ f (x) cos x]

[F ( ) F ( )]

[ f (x) sin x]

[F ( ) F ( )]

Решение.

[ f (x) cos x] =

f (x) cos( x)e

i x

f (x)

i x

dx =

f (x)e

i x

f (x)e

i x

f (x)e

i( ) x

f (x)e

i( ) x

[F ( ) F ( )] .

Аналогично,

[ f (x) sin x]

	1
=	1	f (x) sin( x)e i x dx =

	2
	2

ei x

e i x

f (x)

e i x dx =

f (x)e

i x

f (x)e

i x

1	1
		f
2i	2
2i	2

1	[F ( )
2i	[F ( )
2i

Задача 25.

(x)e	i( ) x	dx

F ( )].

Дана функция



f (x)e	i(

1	, x
(x)	, x
0	, x


) x	dx	=
	dx	=

	(0,1)	.
	(0,1)	.
	(0,1)

1)Найти её преобразование Фурье

2)Представить эту функцию в виде интеграла Фурье.

Решение. Найдём преобразование Фурье.

1	1			1	1	e	i	1		i	e
			i x
		e		=					=

2	i				2		i			2
				0

Представим в виде интеграла Фурье.

		1	1
F () =		1		e i x dx =

		2
		2	0
			0
i	1
	1

Используя формулу

	1	i

f (x)
	2	2

Ответ.	F () =	i
		2

f (x)						1
f (x)						2
						2
e	i		1				i x
					e		i x
					e



i		1
		1		,		f (x
				,		f (x


F (

d =
)	i
	2

i x

d , получим:

i x

e i

i x

d .

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023650.24 Кб1Дополнительные главы макроэкономики..pdf
#
05.02.2023428.66 Кб3Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике-1.pdf
#
05.02.2023371.47 Кб6Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике.pdf
#
05.02.2023324.51 Кб1Дополнительные главы математики.-1.pdf
#
05.02.20231.6 Mб0Дополнительные главы математики.-2.pdf
#
05.02.20231.98 Mб1Дополнительные главы математики..pdf
#
05.02.2023827.15 Кб0Дополнительные главы микроэкономики.-1.pdf
#
05.02.20231.1 Mб1Дополнительные главы микроэкономики..pdf
#
05.02.20232.38 Mб8Еnglish for students of Engineering Faculties (basic level)..pdf
#
05.02.2023122.97 Кб3Жанровая организация PR-текста.-1.pdf
#
05.02.2023290.82 Кб2Жанровая организация PR-текста..pdf