Дополнительные главы математики

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dx , и сделаем

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

u x

u 1

v e

I ( y) xe

. Первое слагаемое при

содержит

и в итоге равно 0. Остаётся только 2-е.

(0 0)

Ответ.

I ( y)

, существует при

y 0 .

y 0

																1
Задача 10.				Вычислить I ( y)												1				dx при y 0 .
Задача 10.				Вычислить I ( y)											2	1)(x	2	y	2	dx при y 0 .
													(x		2		2		2	)
													(x							)

Решение.				Если мы не будем применять вычеты, то придётся
разложить на простейшие дроби, т.е. найти A, B, C, D из выражения:
		1					Ax B			Cx D						, где после приведения к общему
(x	2	1)(x	2	y	2	)	x	2	1	x	2	y		2		, где после приведения к общему
	2		2		2			2			2			2

знаменателю получится система из 4 уравнений на 4 неизвестных.

С помощью вычетов здесь решение более короткое.

f (z)		1					=	1
	2	1)(z	2	y	2			(z i)(z i)(z iy)(z iy)
(z						)

точек две в верхней полуплоскости.

, из 4 особых

												1
I ( y)
																			dx		= 2			i Re s f (z) Re s f (z) .
									2						2			2	dx		= 2			i Re s f (z) Re s f (z) .
						(x			2	1)(x					2	y		2	)						z i					z iy
						(x				1)(x						y			)


При			y 0				:
2							f (z) Re s													=
2		i Re s					f (z) Re s										f (z)			=
					z i							z iy
									1													1
2		i							1													1						=
2		i		(z i)(z							2	y	2		)				(z	2	1)(z iy)							=
											2		2							2
																z	i									z iy
																z	i									z iy
			2 i											2			i
																					=										=
							2							2							=		2						2		=
							2	)				( y		2		1)2iy							2	1			(1 y		2
2i( 1 y								)				( y				1)2iy						y		1			(1 y			) y
							1					=					y 1				=			1	=					.
	2				1							=		2							=				=					.
y	2	1					y					y		2		1			y			y 1 y					y( y 1)
y		1					y					y				1			y			y 1 y					y( y 1)

Ответ.												.
Ответ.												.
					y( y 1)

Задача 11. Вычислить I ( y)

dx .

xy y

Решение.

Найдём решение с помощью вычетов.

f (z)

, Дискриминант знаменателя:

D y 2 4 1 y 2 =

z 2

yz y 2

3y 2 . Корни знаменателя:

3yi

. Тогда верно разложение:

f (z)			1
f (z)	z	2	yz y	2
		2		2


z

	1
y	3yi
	z
2
2

y	3yi

2
2

Если

, то в верхней полуплоскости корень

y3yi 2

Интеграл равен

2	i	Re s		f (z)
		y	3yi
		2

2	i		1
2	i		y	3yi
			y	3yi
		z
			2
			2

z	y	3yi
z	2
	2

2	i				1				= 2	i		1	=		2	i		1		=	2
2	i	y					y		= 2	i			=		2	i				=
		y		3yi			y	3yi			2	3yi						3yi			3 y
			2				2				2	2
			2				2					2
При y 0 , в верхней полуплоскости корень													y				3yi		. Тогда
При y 0 , в верхней полуплоскости корень															2				. Тогда
															2
2	i			1					= 2 i							1					=

							yi					y			yi
			y			3	yi					y		3	yi		y 3yi
		z
				2								2							2
				2			z	y 3yi				2							2
							z	y 3yi
								2

i	1	=
	3yi

2 3y

. Когда перед y знак минус, он сам отрицателен,

т.е. всё выражение снова положительно. Оба случая вместе можно

записать в виде I ( y)	2		. Ответ.	I ( y)	2		.


		3 y				3 y
		3 y				3 y

1.2. Формула Лейбница и её применение.

		y
Задача 12. Вычислить	I ( y)			x	2	y	2	dx , найти
					2		2

		y	2
		y

Лейбница и по ней, сравнить результаты.

I ( y)

без формулы

Решение. I ( y) x2 y 2 dx

1) Без формулы Лейбница

					y
=		x3 y 2			y
=			3		y2
			3

y	5		y	8
y	5		y	8

			3
			3

y	5

5 y

y	8
y
3

48 3

y	7

2) По формуле Лейбница.

(x 2 y 2 ) y dx +

	2		2		2	2		2
1 y		y		2 y y			y

y															2x		3	y	y
y

		2x2 ydx + y 4 2 y 7												=							+ y 4 2 y 7								=
															3

y	2																		y	2
	2																			2

2 y			3	y	2( y	2	)	3	y											2				2										5			8
2 y				y	2( y		)		y	+ y		4			2 y	7		=		2	y	4		2	y		7	y		4	2 y	7	=	5	y	4	8	y	7	.
												4				7						4					7			4		7				4			7
		3				3														3				3										3			3
		3				3														3				3										3			3
									y	5	y		8							5 y		4	8y			7
Ответ.					I ( y)				y		y			,						5 y			8y					.

											3				I ( y)								3
											3												3

В связи с малым количеством времени на лекциях в этом семестре

(одна лекция раз в 2 недели) некоторые полезные факты, следующие из теории, будем выводить здесь.

Задача 13 (теор). С помощью гамма-и бета-функции доказать

				2
равенство:		e	z	2	dz	=		.



	0					2
	0
Решение. Бета-функция:							B(s, t)

1
x	s 1	(1
x		(1
0

x)	t 1	dx

. Сделаем в ней

замену:

x sin 2 . Тогда

1 x

cos	2

dx 2sin cos

При этом, чтобы

[0,1]

,надо чтобы 0, . Тогда

				1
				1										2
B(s, t) x						s 1		(1 x)			t 1	dx =		sin		2s 2		cos		2t 2		2sin cos d
B(s, t) x								(1 x)				dx =		sin				cos				2sin cos d
				0										0

	2																	1
2		sin	2s 1		cos				2t 1	d			. При		s t			1	это составляет


																		2
	0																	2
	0
			0				0																1			1
	2		0				0						2										1			1
2	sin			cos				d			=	2	1d		=	2		.			Итак,		B		,
	0												0				2							2		2
	0												0

Так как гамма- и бетафункции взаимосвязаны по формуле

B(s,t)

Тогда

Г (s)

Г(s

Г 2

Г (t)		, то
t)


		.

					1		1
			1	Г		Г
	1	,	1		2		2
B		,
	2		2		Г (1)

Г	2	1
Г
		2

Теперь вспомним вид гамма-функции:

замену		x z						2		. Тогда				dx 2zdz ,
замену		x z								. Тогда				dx 2zdz ,
												2									2
Г (s) z				2s 2					e		z	2	2zdz		= 2 z			2s 1	e	z	2	dz .
				2s 2							z							2s 1		z

	0																0
	1														2								2
	1						= 2 z 0 e z								2	dz			e z				2	dz
Г							= 2 z 0 e z									dz			e z					dz
	2											0							0
												0							0
						2
Ответ.			e		z	2		dz				=			.


													2
		0											2
		0

Тогда получается, что:

= 2 .

Бывают ситуации, когда в интеграле не один параметр и одна переменная интегрирования, а несколько параметров или переменных.

Собственно говоря, мы и так это уже видели на примере бета-

функции, зависящей от двух параметров s, t . Сейчас рассмотрим подобные ситуации подробнее, а также увидим аналог формулы Лейбница.

Задача 14. А. Вычислить I (z) x2 yzdxdy , где

x, y [0,1] .

квадрат:

Задача 14. Б. Вычислить I ( y, z) x2 yzdx .

Решение.

А. I (z)

Заметим,

z					1


	6				6
1			2	y	2	1

	x
			2
0						0

Б.		I ( y, z)

1		1				1		2	y	2	z	1			1	x	2	z			x	3	z	1	z
1		1				1		2		2					1		2					3
			2				x
		x			=								dx	=					dx	=					= .
		x		yzdy dx	=				2				dx	=			2		dx	=					= .
0	0					0			2			0			0		2				6			0	6

чтоздесь верен аналог формулы Лейбница: с одной стороны,

														1 1						1 1
																		2			2
, с другой,								I (z)							(x			2	yz) z dy dx	= x	2	ydy dx	=
, с другой,								I (z)							(x				yz) z dy dx	= x		ydy dx	=
													0			0				0 0
					1	x	2				x	3		1			1
	dx					x		dx =			x						1
			=												= .
			=												= .
						2					6						6
					0	2					6			0			6
														0
		1							x	3	yz		1				yz
		1

			x	2	yzdx			=							=			.
				2
										3							3
		0								3			0				3
		0

Заметим, что и здесь верен аналог формулы Лейбница для случая постоянных границ, но только с частными производными.

yz

	3			y
				y
1
x		2	zdx
x			zdx
0

z	, что совпадает с результатом
3	, что совпадает с результатом
3
x		3	z	1	z
		3
				=		.
	3			=	3	.
	3			0	3
				0

y	1			y
y			2	y
I ( y, z)		(x		yz)	dx
	0

 

yz
3
x	2

, что совпадает с результатом

I ( y, z)

(x2 yz) dx =

ydx

x3 y 1

Ответ. I (z) 6z , I ( y, z) yz3 .

		y	2

Задача 15. Вычислить	I ( y)			(2x y cos x)dx , найти

		0

формулы Лейбница и по ней, сравнить результаты.

I ( y)

без

Решение.

y	2

I ( y) (2x y cos x)dx
0

= y 4 y sin( y 2 ) .

1)	I
4 y	3
4 y
2)	I

( y)sin(

( y)

y		4

y	2	)

(2x

y 2

			2
sin( y				)		=

y	2	cos( y			2	) .

y cos x)						dx
				y

4y3

2 y

sin(

(2 y 2

y	2

) y cos( y

y cos( y	2	))

2)2 y

cos xdx 4 y3 2 y 2 cos( y 2 )


4 y	3	sin( y	2	) 2 y		2	cos( y	2	) .
4 y		sin( y		) 2 y			cos( y		) .
Ответ. I ( y) y					4		y sin( y		2	) ,
Ответ. I ( y) y							y sin( y			) ,

= sin x		y

		0

I ( y)

2	4y	3	2y	2

4 y3 sin( y 2 )

cos( y	2	) =

2 y 2 cos( y 2 ) .

ГЛАВА 2. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

2.1. Вычисление интеграла Фурье и преобразования Фурье

Задача 16. Вычислить

(преобразование

Фурье) для функции, заданной следующим образом:

0 , x 0

f (x) e x , x 0 .

Решение.

Так как на левой полуоси функция - тождественный 0, то

F ( )		1
F ( )		2
		2
	1	1
	i	2
1	i	2


		f (x)e

e	(1 i ) x

i x dx

= 0

11 e x e i x

i 2

1
1	e	(1 i ) x	dx
		(1 i ) x
2
2	0
	0

	1	1		e x (cos x i sin x)		x здесь произведение
					. При
	i
			2
1			2		0
					0

бесконечно-малой e x на ограниченную по модулю функцию

cos x i sin x , а такое произведение является бесконечно-малой.

Поэтому	1	1			e (1 i ) x			=	1	1	(0	1)	=

	i								i
			2							2
1			2				0	1		2
							0
Ответ. F ( )		1		1		.
Ответ. F ( )		2 1		i		.
		2 1		i

Задача 17. Обратное преобразование Фурье для F ( )

1	1		.

1 i
		2

1 1

2 1 i .

Решение.

	1
f (x)	1	F ( )e	i x	d
			i x

	2

	1		1

	2		2

1 1 i

e	i x	d

1	1
1	1	e	i x		d	. Найдём с помощью вычетов, ведь здесь интеграл
			i x
2	1 i
2	1 i

по всей оси				. Особая точка находится из таких соображений. Корень
знаменателя 1 i						равен: i 1	1	i , соответствует
знаменателя 1 i						равен: i 1	i	i , соответствует
							i
полюсу 1-го порядка. Здесь можно заметить, что везде в функции
выражение i				, которое можно обозначить в качестве новой

переменной z . При этом движение i происходит по вертикальной оси, а особая точка - слева от неё (см. чертёж).

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023650.24 Кб1Дополнительные главы макроэкономики..pdf
#
05.02.2023428.66 Кб6Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике-1.pdf
#
05.02.2023371.47 Кб8Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике.pdf
#
05.02.2023324.51 Кб1Дополнительные главы математики.-1.pdf
#
05.02.20231.6 Mб2Дополнительные главы математики.-2.pdf
#
05.02.20231.98 Mб2Дополнительные главы математики..pdf
#
05.02.2023827.15 Кб1Дополнительные главы микроэкономики.-1.pdf
#
05.02.20231.1 Mб2Дополнительные главы микроэкономики..pdf
#
05.02.20232.38 Mб8Еnglish for students of Engineering Faculties (basic level)..pdf
#
05.02.2023122.97 Кб3Жанровая организация PR-текста.-1.pdf
#
05.02.2023290.82 Кб2Жанровая организация PR-текста..pdf