Iy1 − Iy2 = M (d12 −d22 ) = M (d1 −d2 )(d1 + d2 ) = M (d1 −d2 ) d,

поскольку сумма расстояний от оси, проходящей через С, задана и равна d. Из этого соотношения

Iy1 = Iy2 + Md(d1 − d2 ).

Разность расстояний отсюда определяется – она показывает, насколько ось у2 ближе к центру масс, чем ось у1

d1 − d2 = Iy1 − Iy2 . Md

Пример 4.8

Найти момент инерции шара относительно оси аа, совпадающей с касательной прямой к его поверхности в точке А.

Решение

Используем для решения теорему Гюйгенса. Для линии, параллельной заданной оси и проходящей через центр шара С, значение момента инерции известно и равно

IC = 52 MR2.

По теореме Гюйгенса к этому значению нужно добавить величину

MR2 . Окончательное значение момента инерции получается суммированием и составляет

IA = 75 MR2.

4.3. Движение центра масс системы

Ускорение центра масс системы в проекциях на оси декартовой системы координат выражается формулами

Если известны законы движения отдельных точек системы, то справедливы равенства

MxC = ∑mk xk , MyC = ∑mk yk , MzC = ∑mk zk .

По существу эти равенства представляют собой дважды продифференцированные по времени соотношения между координатами отдельных точек системы и координатами ее центра масс.

117

Пример 4.9

Стержень длиной L и массой М вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω.

Определить главный вектор внешних сил.

Решение

Для определения главного вектора внешних сил достаточно найти ускорение центра масс системы – в данном случае стержня:

MaC = ∑Fke.

k

Ускорение центра масс стержня известно – оно направлено к оси вращения, а по величине определяется равенством

aC = L2 ω2.

Тем самым определяются и величина, и направление главного вектора внешних сил.

Пример 4.10

Колесо массой М катится со скольжением по горизонтальному рельсу под действием силы F, приложенной к центру масс. Коэффициент трения скольжения равен f. Движение начинается с нулевой скоростью из положения, принятого за начало координат.

Найти скорость центра масс.

Решение

Для центра масс справедливо соотношение

MxC = F − FTP = F − Mgf .

Отсюда определяется ускорение

xC = MF − fg,

Затем находится скорость (с учетом того, что появляющаяся постоянная при интегрировании должна определяться из начальных условий):

и с учетом начального условия

xC t=0 = 0

118

получаем С = 0, и окончательно решение имеет вид

Теорема об изменении главного вектора количеств движения системы

Импульсом силы называется величина, определяемая соотношением

t2

S = ∫Fdt.

t1

Если есть равнодействующая системы сил R = ∑Fk , то

k

S (R)= ∑Sk (Fk ).

k

Количество движения определяется как

q= mv,

аглавный вектор количеств движения

Q = ∑qk = ∑mk vk = MvC . k k

Пример 4.11

Диск вращается вокруг неподвижной оси, центр тяжести диска находится на оси вращения.

Как изменится главный вектор количеств движения, если скорость вращения возрастет вдвое?

Решение

Так как центр масс лежит на неподвижной оси, то скорость его равна нулю и не зависит от скорости вращения диска. Поэтому изменение скорости вращения не приводит к изменению главного вектора количеств движения, и он по-прежнему остается равным нулю.

Пример 4.12

Балка массы М1 движется по горизонтали с помощью двух катушек В и С с массами М2 каждая. Радиус качения каждой катушки равен r2, скорость движения катушек v, балка движется на высоте h = b + r.

Определить главный вектор количеств движения указанной системы.

Решение

119

Система состоит из трех тел, и сумма количеств движений дает главный вектор:

Q =QA +QB +QC ,

причем

QB = QC = M2 v.

Что касается балки, ее скорость отлична от скорости катушек. Принимая точку касания каждой катушки с горизонтальной поверхностью за ее мгновенный центр вращения, можем записать

Поскольку все векторы коллинеарны, то суммирование векторное можно проводить как алгебраическое. Таким образом

Q= M1v 1+ b + 2M2v.

r

Пример 4.13

Под действием некоторой системы сил точка массой М движется по окружности с постоянной скоростьюv.

Определить импульс равнодействующей при перемещении точки на четверть окружности.

Решение

Используем теорему об изменении количества движения

S = Mv2 − Mv1.

Величина скорости не меняется, меняется только ее направление. При продвижении на четверть окружности скорость меняет направление на 900. Поэтому величина этого изменения равна диагонали квадрата, каждая сторона которого равна величине скоростиv1 = v2 = v.

В итоге

∆v = v2, S = Mv2.

Пример 4.14

Тело М движется из состояния покоя по горизонтальной поверхности под действием силы F = b∙t, b = const.

120

Какую скорость приобретет тело черезt секунд после начала движения, если коэффициент трения f?

Решение

Сила трения определяется по соотношениям

FTP = f∙P, P = M∙g.

Изменение скорости равно импульсу силы:

Пример 4.15

Ракета массой М = 1200 кг находится на круговой орбите Земли, скорость движения v1 = 7,9 км/с. От ракеты отделяется приборный отсек массой М1 = 200 кг, скорость которого возрастает доv1 = 8,0 км/с.

Определить скорость v2 оставшейся части ракеты.

Решение

На ракету в полете действует лишь сила притяжения Земли – по нормали к траектории. Эта сила уравновешивается центробежной силой при движении по круговой траектории. Вдоль касательной к направлению полета силы не действуют, и главный вектор количеств движения не изменится.

Таким образом, с учетом совпадения линий действия всех векторов вдоль касательной к траектории, можем рассматривать приведенное ниже равенство как алгебраическое

Q = Mv =Q1 +Q2 =(M −M1)v2 + M1v1.

Отсюда

v2 = Mv − M1v1 = 7,88(км/ с).

M − M1

Пример 4.16

Определить вращающий момент Мz, под действием которого круглый плоский диск массой М = 20 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси z по закону ϕ = 4t2.

Решение

Движение тела при вращении подчиняется закону

121

Iz φ= M z .

Момент инерции диска относительно указанной оси вращения

Iz = MR2 2 ,

аугловое ускорение определяется как φ =8.

Витоге

M z = 4MR2 = 0,8 кгс2м2 = 0,8Н м.

Пример 4.17

Вычислить кинетическую энергию катка массой М, катящегося без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростьюvC. Колесо считать сплошным однородным диском.

Решение

При плоском движении кинетическая энергия складывается из двух составляющих – энергии поступательного и энергии вращательного движений, т.е.

T = 12 MvC2 + 12 Izω2.

Для однородного плоского диска

Iz = MR2 2 ,

и тогда

T = 12 MvC2 + M4 R2ω2.

Так как угловая скорость всех точек колеса постоянна (случай плоского движения), то Rω = vC , и суммарная кинетическая энергия равна

T = 34 MvC2 .

Стоит отметить, что в данном случае кинетическая энергия от радиуса колеса не зависит.

Пример 4.18

Груз А массой М1 спускается на тросе со скоростью v1, вращая при этом тросом барабан В с массой М2.

Считая барабан однородным круглым цилиндром и пренебрегая массой троса, найти кинетическую энергию системы как функцию скорости v1 .

122

Решение

Кинетическая энергия системы определяется как сумма

T =T1 +T2 ,

причем

T1 = 12 M1v12 , T2 = 12 Izω2.

Здесь учтено, что скорость спуска груза и скорость точки на ободе барабана совпадают.

Тогда

123