где Iz – момент инерции тела относительно оси Z, ri – расстояние i-ой точки до оси Z.

Из этого равенства вытекают необходимые и достаточные условия на отношения между элементами данной структурной модели (длины и ориентации стержней, массы материальных точек), что хорошо видно из рисунка 3.5.

Рисунок 3.5 – Структурная модель вращающегося тела

Еще больше усложнится структурная модель в случае описания движения деформируемого (например, упругого) тела. Тогда вместо недеформируемых стержней в качестве связей между элементами (материальными точками) могут выступать пружинки с различными упругими свойствами (рисунок 3.6).

Рисунок 3.6 – Структурная модель упругого тела

В этой структурной модели для получения необходимых и достаточных отношений между элементами кроме распределения масс по объему тела необходимо учесть распределение жестко-

93

стей сj пружинок, чтобы совокупность последних описывала упругие свойства реального тела.

Из этого примера видно, что структурное моделирование позволяет описывать поведение довольно сложных систем. При этом, чем сложнее система, тем структурное моделирование становится все более эффективным (а в некоторых случаях – просто необходимым). Например, при описании поступательного движения твердого тела структурная модель, в принципе, не нужна, так как в этом случае тело можно представить в виде одной материальной точки, масса которой равна массе тела. В других рассмотренных выше примерах структурная модель помогает описать поведение достаточно сложных механических систем с помощью взаимодействующих простейших элементов. Для некоторых механических систем структурное моделирование является едва ли не единственным способом описания их поведения. Это относится, например, к моделированию поведения структурнонеоднородных материалов (композитов, полимеров, керамик и т.д.).

Следует отметить, что той информации, которая содержится в структурной схеме системы, очень часто бывает недостаточно для исследования. Поэтому графы надо рассматривать как вспомогательный инструмент при моделировании. Главным же при структурном моделировании является установление конкретных функциональных связей между входными, внутренними и выходными параметрами. Поэтому без достаточно широкого арсенала методов математического моделирования здесь также не обойтись. В большинстве случаев приходится составлять уравнения, описывающие поведение каждого элемента структуры с учетом взаимодействия всех элементов. Это приводит к необходимости решения систем уравнений с большим количеством переменных. Однако с появлением современной вычислительной техники такие подходы к моделированию сложных систем становятся все более распространенными.

В заключение данного параграфа кратко остановимся на классификации структурных моделей и примерах их применения. Структурные модели бывают 4-х видов: пространственные, временные, физические и иерархические. Пространственные

94

структуры обычно используют для описания геометрии исследуемого объекта и расположения в пространстве его отдельных элементов. Такие структуры хорошо описываются с помощью сетевых и матричных графов, вершины которых указывают места расположения элементов, а ребра – расстояния между ними или другие условия соединения. Примером пространственной структурной модели является структурная схема телефонной сети некоторого населенного пункта, где вершинами являются узлы связи, а ребрами – линии связи с указанием, например, числа каналов связи. Другим примером пространственной структуры может служить конечно-элементная сетка, с помощью которой описывается геометрия исследуемого объекта при его, например, прочностном расчете методом конечных элементов.

Временные структурные модели широко используются в се-

тевом и календарном планировании, а также в теории массового обслуживания. Во временных структурах в качестве элементов выступают этапы происходящего процесса или состояния системы в некоторый момент времени. Отношениями здесь служат условия перехода от одного этапа к другому или из одного состояния системы в другое. Например, на производстве широко применяют так называемые сетевые графики (технологические карты). Они представляют собой графы, вершинами которых служат необходимые производственные операции, а с помощью ребер указывается последовательность и длительность этих операций. При моделировании систем массового обслуживания удобно применять структурную схему "гибели и размножения", которая представляет собой линейный граф (последовательный набор состояний системы, вытянутой в одну цепочку). Считается, что система обслуживает случайный поток заявок, поступающих в данную систему. Тогда отношениями между элементами системы (ее состояниями в различные моменты времени) служат условия поступления новой заявки, которые можно характеризовать, например, интенсивностью соответствующих случайных потоков событий.

Физические структурные модели применяются для описания сложных физических свойств исследуемого объекта с помощью простых структурных элементов. Пример моделирования упру-

95