ГЛАВА 3. СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ

Введение

Как было отмечено во 2-ой главе, одним из важных этапов математического моделирования является переход от содержательной (технической) и концептуальной постановок задачи к математической, т.е. переход с технического языка (или – "языка природы") описания исследуемого объекта к языку математических формул и уравнений. Однако на практике такой переход бывает совсем не просто осуществить. В некоторых случаях это связано со сложностью самого исследуемого объекта, в других – с отсутствием необходимой информации об объекте или соответствующего математического аппарата. Поэтому часто возникает необходимость "разбить" поставленную задачу на несколько более простых подзадач, имеющих известные решения, или которые можно решить с помощью апробированных методов. Для этой цели удобно использовать методы структурного моделирования, позволяющие еще на стадии постановки упростить решаемую задачу путем исследования внутренней структуры рассматриваемого объекта, изучения свойств отдельных элементов объекта и связей между ними.

3.1 Что такое структурная модель?

Системой является все, что мы хотим различать как систему.

Б.Гейне

Очень часто для достижения практических целей возникает необходимость рассматривать исследуемый объект не как нечто целое, а как совокупность отдельных элементов, связанных (взаимодействующих) между собой некоторым образом. В этом случае исследуемый объект удобно представить в виде системы, а при его моделировании использовать методы системного анали-

за.

Напомним основные понятия системного анализа, которые будут использоваться в дальнейшем. Одним из основополагаю-

87

щих понятий системного анализа является понятие искусственной системы, которую определим следующим образом:

Система есть совокупность взаимосвязанных элементов, выделенная из среды и взаимодействующая с окружающей средой как целое для достижения поставленной цели.

Следует отметить, что важным признаком для выделения системы из среды является возможность определения взаимодействия этой системы с окружением независимо от поведения ее отдельных элементов (именно это подразумевается под словами "взаимодействующая: как целое").

Для описания систем в системном анализе рассматриваются четыре основных модели. Если внутреннее строение системы неизвестно (или не интересует исследователя), то применяется модель "черного ящика". В данной модели системы отсутствуют (или не используются в явной форме) сведения о внутреннем содержании "ящика" (поэтому он и называется "черным"), а только задаются входные и выходные связи со средой. Обычно это сводится к заданию двух множеств входных и выходных параметров, но никаких соотношений между ними не задается. Примером модели "черного ящика" может служить экспериментальное исследование некоторого сложного объекта, когда экспериментатор, изменяя входные параметры объекта, получает на выходе различные его характеристики.

Очевидно, что исследование внутреннего устройства системы невозможно с помощью модели "черного ящика". Для этого необходимы более развитые модели. Одной из таких моделей является модель состава системы, описывающая, из каких элементов и подсистем состоит данная система. При этом элементами системы называются те части системы, которые полагаются неделимыми, а части системы, состоящие более чем из одного элемента, называются подсистемами. Например, если в качестве системы рассмотреть автомобиль, то ее подсистемой можно считать систему управления, а ее элементами – руль, педали и т.д.

Сложность построения модели состава системы состоит в ее неоднозначности. Это связано со следующими причинами. Вопервых, понятие "элементарности" можно определить поразному. Во-вторых, модель состава (как и любая другая модель)

88

является целевой и для отличающихся целей один и тот же объект может потребовать различного разбиения на части. В- третьих, всякое разбиение целого на части является относительным. Например, тормозную подсистему автомобиля можно отнести как к ходовой части, так и к подсистеме управления.

В большинстве случаев модели состава системы оказывается недостаточно для ее описания. Мало знать состав системы, кроме этого необходимо установить связи между отдельными элементами, которые называются отношениями. Совокупность необходимых и достаточных для достижения цели отношений между элементами называется моделью структуры системы. Основной сложностью при описании структуры (списка отношений) является обоснование конечного числа связей, которые являются наиболее существенными по отношению к рассматриваемой цели.

Например, при моделировании механической системы, движущейся в околоземном пространстве, обычно не учитываются силы взаимного притяжения отдельных материальных точек (элементов), но учитывается сила притяжения их к Земле (отношения).

Следует отметить, что структура системы является абстрактной моделью, так как рассматривает только связи (отношения) между элементами, но не рассматривает сами элементы (понятно, что на практике говорить об отношениях без элементов просто не имеет смысла). Однако в некоторых случаях модель структуры теоретически может быть исследована отдельно, если, например, отношения заданы в виде математических формул или уравнений.

Теперь, имея три формальные модели системы: "черного ящика", состава и структуры, – и объединив их, можно получить еще одну модель, которую называют структурной схемой системы или моделью "белого ящика". Данная модель включает все элементы системы, все связи между элементами внутри системы и связи системы (или ее отдельных элементов) с окружающей средой (входы и выходы системы), как изображено на рисунок

3.1.

89

Рисунок 3.1 – Структурная схема системы

Следует отметить, что структурная схема системы является формальной моделью, отделенной от содержательного наполнения. Это позволяет рассматривать структурную схему как особый математический объект и исследовать его свойства. Такой объект называется графом. Он состоит из обозначений элементов произвольной природы, называемых вершинами, и обозначений связей между ними, называемых ребрами.

На рисунке 3.2 приведен пример графа, у которого вершины обозначены в виде кружочков, а ребра – в виде линий. Стрелки указывают на несимметричность некоторых связей. Такой граф называется ориентированным. Каждая пара вершин может быть соединена любым количеством ребер. Чтобы ввести другие различия между ребрами – кроме несимметричности, – им приписывают различные веса. Такие графы называются взвешенными. В качестве весов могут выступать различные характеристики сети, например, длина ребра, число каналов электросети, тип покрытия в сети автомобильных дорог и так далее. В настоящее время для графов разработана целая теория, имеющая многочисленные приложения. Графы могут изображать любые структуры. Некоторые графы получили специальные названия: линейные, древовидные (иерархические), сетевые, матричные и т.д. Пример сетевого графа приведен на рисунке 3.3.

90

Рисунок 3.2 – Пример графа Рисунок 3.3 – Сетевой граф

Как отмечено выше, граф (структурная схема) является формальной моделью, которую необходимо наполнить конкретным содержанием. Только после этого структурная схема становится структурной моделью исследуемого объекта. Например, если в качестве вершин графа, изображенного на рисунке 3.3, считать цилиндрические шарниры, а ребер – прямолинейные стержни, то получим структурную модель стержневой конструкции, широко применяемую при моделировании в строительной механике. Если же в качестве вершин рассматривать узлы связи, а за ребра принять линии связи, то получим структурную модель сети электросвязи.

Таким образом, можно дать следующее определение структурной модели.

Структурная модель системы – это совокупность конкрет-

ных элементов данной системы, необходимых и достаточных отношений между этими элементами и связей между системой и окружающей средой.

Рассмотрим пример построения структурной модели, поясняющий данное определение. Пусть требуется построить структурную модель абсолютно твердого тела, совершающего поступательное движение под действием приложенной силы. Напомним, что абсолютно твердое тело при движении не изменяет форму и размеры. Поэтому такое тело можно представить как совокупность материальных точек (элементов), соединенных прямолинейными невесомыми недеформируемыми стержнями (рисунок 3.4).

91

Рисунок 3.4 – Структурная модель абсолютно твердого тела при поступательном движении

Сила Р выступает в качестве воздействия внешней среды на тело, а откликом на это воздействие (выходным параметром) служит ускорение тела а (или любой его точки вследствие их равенства при поступательном движении). Согласно второму закону Ньютона

где mT – масса тела.

Таким образом, для того, чтобы данная структурная модель правильно описывала поступательное движение тела, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие

i=1

где mi – масса i-ого элемента, N – число элементов.

Из последнего соотношения вытекают условия на отношения между элементами структурной модели, из которых следует, что количество элементов и их распределение внутри тела не имеют значения. Другое дело, если необходимо описать вращательное движение твердого тела вокруг некоторой заданной оси под действием приложенного момента сил. В этом случае распределение элементов внутри объема тела должно быть таким, чтобы выполнялось условие равенства моментов инерции реального тела и его структурной модели относительно заданной оси

i=1

92