Математика. Математический анализ

Для функции, заданной в условии задачи, оба односторонних предела в точке x0 = 2 существуют, но они различны. Следовательно, функция f(x) предела в точке x0 = 2 не имеет.

9. Повторные пределы.

y ! 0

Решение . Заданная в условии дробь представляет собой неопределенность 00. Äëÿ доказательства применим определение предела функции по Гейне. Для этого выбе-

рем две последовательности точек, сходящихся к точке (0; 0) таких, что соответству-

f(Mn) ! 0 ïðè n ! 1.

39

Можно привести много примеров, в которых функция двух переменных не имеет предела в некоторой точке. Легкость построения таких примеров объясняется тем, что на плоскости существует много различных путей приближения к заданной точке. Рассмотрим два таких пути.

Пусть заданы две точки M0(x0; y0) è M(~x; y~).

Связь между пределом функции двух переменных в точке и повторными пределами дает теорема.

lim ( lim f(x; y)), также равный A.

x!x0 y!y0

40

Заметим, что из существования повторных пределов функции в точке и даже их равенства не следует существование двойного предела функции в этой точке.

xy

Пример 9.3. Докажите, что функция f(x; y) = x2 + y2 имеет в точке A(0; 0) оба повторных предела, они равны между собой, но двойной предел фунции в этой точке

не существует.

10. Непрерывность функции.

Понятие непрерывности функции, как и понятие предела функции является одним из основных понятий математического анализа. Непрерывные функции обладают целым рядом важных свойств, помогающих при изучении функций, решении различных типов уравнений.

Определение 10.1. Функция y = f(x) (f : R(n) ! R(m)) называется

непрерывной в точке x0, если она определена в окрестности этой точки (и в самой точке x0), существует lim f(x) и он равен значению функции в точке.

Òî åñòü x0 2 D(f) è

Из определения 10.1 следует, что для непрерывной функции символы

41

предела и функции можно менять местами.

Функция y = f(x) непрерывна в точке x0, если она определена в этой точке и для любой окрестности U"(f(x0)) с уществует окрестность U (x0) такая, что для всех точек x 2 U (x0) значения функции f(x) 2

U"(f(x0)).

Функция y = f(x) непрерывна в точке x0, если она определена в этой точке и для любого числа " > 0 существует число (") > 0 такое, что как только расстояние между точками x и x0 становится меньше (jx x0j < ), то расстояние между точками f(x) и f(x0) становится меньше " (jf(x) f(x0)j < ").

Обозначим через x = x x0 приращение аргумента, а через

y = f(x) f(x0) приращение функции.

Определение 10.2. Функция y = f(x) (f : R(n) ! R(m)) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно

малое приращение функции y, то есть lim y = 0.

Определения 10.1 10.2 эквивалентны.

Докажем эквивалентность определений 10.1 и 10.2 для скалярной

= f(x0) f(x0) = 0.

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций для непрерывной функции можно записать

ãäå (x0; x) = f(x0 + x) f(x0) бесконечно малая при x ! 0. Функция, непрерывная в каждой точке области, называется непре-

рывной в этой области.

Для для скалярной функции скалярного аргумента можно ввести понятия односторонней непрерывности.

42

Определение 10.3. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0 слева, если она определена в левой полуокрестности этой

точки, существует lim f(x) и он равен значению функции в точке.

x!x0 0

Определение 10.4. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0 справа, если она определена в правой полуокрестности этой

точки, существует lim f(x) и он равен значению функции в точке.

x!x0+0

Теорема 10.1. Если функция y = f(x) непрерывна в точке x0 справа

Теорема 10.2. Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель отличен от нуля) непрерывных функций является непрерывной функцией.

Теорема 10.3. Если функция y = '(x) непрерывна в точке x0, à ôóíê- ция z = (y) непрерывна в точке y0 = '(x0), то сложная функция

Теорема 10.4. Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

11. Замечательные пределы.

1 замечательный предел.

В окружности радиуса R с центром в начале координат проведем луч

OB под углом (0 < < =2) к оси OX. Он пересекает окружность в

точке B и линию тангенсов в точке C.

Очевидно, что OAB сектор OAB OAC. Тогда

S OAB < Sсектора OAB < S OAC ;

43

Так как sin 6= 0, то разделив неравенство на sin , получим

По теореме о зажатой функции с учетом непрерывности функции cos

!0

Из второго замечательного предела можно вывести следующие след-

44

Докажем формулу (11.5).

Докажем формулу (11.7).

Обозначим a 1 = y. Тогда = loga(1 + y) и при ! 0 имеем y ! 0.

Докажем формулу (11.8).

Обозначим (1+ ) 1 = y. Тогда (1+ ) = 1+y и ln(1+ ) = ln(1+y).

Пример 11.1. Вычислите lim tg 7x

x!0 sin x .

7x + 11

45

Задание 11.1. Вычислите пределы

Отметим, что пределы в задании являются следствиями первого замечательного предела.

12. Точки разрыва функции.

Точка x0 называется точкой разрыва функции y = f(x), если функция не является непрерывной в этой точке.

Рассмотрим характеризацию точек разрыва для скалярной функции скалярного аргумента.

Пусть f : X R ! Y R.

Различают следующие типы точек разрыва.

Точка x0 называется точкой разрыва 1-ãî ðîäà функции f(x), если существуют оба односторонних предела, но они не равны между собой.

Точка x0 называется точкой разрыва 2-ãî ðîäà функции f(x), ес-

Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если существуют оба односторонних предела, они равны, но функция

поэтому она непрерывна. Исследуем точку x = 2. Для этого найдем пределы функции f(x) в точке x = 2 слева и справа.

В точке x = 2 функция f(x) имеет разрыв первого рода.

46

Пример 12.2. При каких значениях параметра a функция

Решение . Функция f(x) определена на всей числовой прямой и при x 6= 3 функция

является элементарной, поэтому она непрерывна. Найдем односторонние пределы функции при x ! 3.

непрерывна, то пределы справа и слева равны, то есть 3 + a = 2. Значит, a = 1.

Пример 12.3. Исследуйте непрерывность функцию f(x) = 21=x 1.

21=x + 3

Решение . Во всех точках, кроме x = 0 функция f(x) является элементарной, по-

этому она непрерывна. Исследуем точку x = 0. Для этого найдем пределы функции

f(x) в точке x = 0 слева и справа.

f(x) имеет разрыв второго рода.

47

Исследуем точку x = 0. Для этого найдем пределы функции f(x) в точке x = 0 слева