Математика. Математический анализ

Если последовательность fang числовая, то условие jan aj < " (an 2 U"(a)) означает, что a " < an < a + " èëè an 2 (a "; a + ").

Для числовой последовательности ее предел можно проиллюстриро-

i=1

Исследовать сходимость векторной последовательности помогает следующая теорема:

(a(1); a(2); :::; a(k)) необходимо и достаточно, чтобы каждая координат-

ная последовательность сходилась, причем lim a(ni) = a(i) (8i = 1; k).

n!1

В теореме утверждается, что сходимость векторной последовательности сводится к сходимости всех координатных последовательностей.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть векторная последовательность fang = f(a(1)n ; a(2)n ; :::; a(nk))g сходится к точке a = (a(1); a(2); :::; a(k)). Тогда для любого сколь

угодно малого положительного числа " существует номер N(") такой, что для всех

k

n > N(") выполняется неравенство jan aj < " èëè P(a(ni) a(i))2 < "2. Если сумма

i=1

неотрицательных чисел не превосходит некоторого числа, то и каждое слагаемое не превосходит этого числа, то есть (a(ni) a(i))2 < "2. Следовательно, ja(ni) a(i)j < " äëÿ

всех n > N("). Значит, каждая из координатных последовательностей сходится.

2. Достаточность. Задана векторная последовательность fang = f(a(1)n ; a(2)n ; :::; a(nk))g и пусть все координатные последовательности сходятся, причем

lim a(ni) = a(i) (для каждого i = 1; 2; : : : ; k). Докажем, что последовательность

n!1

fang сходится к точке a = (a(1); a(2); :::; a(k)). Сходимость координатных последовательностей означает, что для любого сколь угодно малого положительного числа " существуют номера Ni(") такие, что для всех n > Ni(") выполняются соответствую-

Положим N = maxfN1; N2; : : : ; Nkg. Тогда для любого n > N выполняются все k неравенств ( ). Имеем

19

Это значит, что векторная последовательность сходится и ее предел равен

a = (a(1); a(2); :::; a(k)).

Поэтому при дальнейшем изложении материала будем рассматривать числовые последовательности fang (fang 2 R).

Сформулируем и докажем некоторые теоремы о пределах последовательностей.

Теорема 1.2. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство. Проведем методом от противного.

Предположим, что последовательность fang имеет два предела, то есть lim an = a

n!1

определению предела для этого " существует номер, начиная с которого выполняется

Аналогично, для этого же " существует номер, начиная с которого выполняется нера-

an > a + b

2 . А это невозможно. Значит, наше предположение неверно, и последовательность fang имеет единственный предел.

Последовательность f ng называется бесконечно малой, åñëè åå

Условие lim n = 0 означает, что для любого числа " > 0 существует

n!1

номер N(") такой, что для всех членов последовательности с номерами

n > N(") выполняется неравенство j nj < ".

Если последовательность fang сходится к числу a (an ! a), то последовательность n = an a будет бесконечно малой.

Теорема 1.3. Всякую сходящуюся последовательность можно представить в виде суммы ее предела и некоторой бесконечно малой последовательности.

Эта теорема следует непосредственно из определения предела. Последовательность fbng называется бесконечно большой, åñëè äëÿ

любого положительного числа E существует номер N(E) такой, что для

20

всех членов последовательности с номерами n > N(E) выполняется

неравенство jbnj > E.

О бесконечно больших последовательностях говорят, что они сходятся

к бесконечности или lim bn = 1.

n!1

Теорема 1.4. Если последовательность f ng ( n 6= 0) является бес-

2. Основные теоремы о пределах последовательности.

В этом параграфе сформулируем и докажем основные теоремы о свойствах пределов сходящихся последовательностей.

Лемма 2.1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть f ng è f ng две бесконечно малые последовательности. По определению предела последовательности для любого числа " > 0 существуют

номера N1(") è N2(") такие, что для всех членов последовательностей с номерами n > N1(") è n > N2(") выполняется неравенства j nj < 2" ( ) è j nj < 2" ( ) соответственно. Пусть N = maxfN1("); N2(")g. Тогда при n > N выполняются оба неравенства (*) и (**). Имеем j n + nj 6 j nj + j nj < 2" + 2" = ". Это значит, что последовательность n + n является бесконечно малой.

Следствие 2.2. Сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Лемма 2.3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть f ng бесконечно малая последовательность, fbng ограни- ченная последовательность. Значит, существует число M такое, что для всех членов последовательности fbng справедливо неравенство jbnj 6 M. По определению пре-

дела для любого числа " > 0 существуeт номер N(") такой, что для всех членов

последовательности n с номерами n > N(") выполняется неравенство j nj < M" . Пусть n > N("). Тогда справедливо неравенство j nbnj = j nj jbnj < M" M = ". Ýòî

означает, что последовательность nbn является бесконечно малой.

21

Теорема 2.4. Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство. Пусть последовательность fang сходится и lim an = a. Ïî îïðå-

n!1

делению предела для любого положительного числа " существует номер N("), на- чиная с которого все члены последовательности fang удовлетворяют неравенству a " < an < a + "; то есть принадлежат интервалу (a "; a + "). Обозначим через m = minfa "; a1; a2; : : : ; aN(")g, M = maxfa + "; a1; a2; : : : ; aN(")g. Тогда все члены последовательности удовлетворяют двойному неравенству m 6 an 6 M. Следовательно, последовательность fang ограничена.

Следствие 2.5. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие 2.6. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следующая теорема дает основные правила вычисления пределов последовательностей.

Теорема 2.7. Пусть fang è fbng сходящиеся последовательности и

Доказательство. Докажем второй и четвертый пункты теоремы.

2. Последовательность fang сходится и lim an = a. По определению предела для

n!1

любого числа " > 0 существует номер N1("), начиная с которого все члены последовательности fang удовлетворяют неравенству jan aj < 2" ( ). Аналогично для последовательности fbng, сходящейся к числу b, для этого же числа " > 0 существует

номер N2("), начиная с которого все члены последовательности fbng удовлетворяют неравенству jbn bj < 2" ( ).

Обозначим через N = maxfN1("); N2(")g. Тогда для всех номеров n > N справед-

ливы оба неравенства (*) и (**). Имеем

j(an + bn) (a + b)j = j(an a) + (bn b)j 6 jan aj + jbn bj < 2" + 2" = ".

Следовательно, по определению предела a + b = lim (an + bn).

n!1

22

4. Так как последовательность fang сходится, то она ограничена, то есть janj < M. По определению предела для любого числа " > 0 существует номер N1("), íà-

чиная с которого все члены последовательности fang удовлетворяют неравенству jan aj < 2j"bj ( ). Аналогично для последовательности fbng, сходящейся к числу b,

для этого же числа " > 0 существует номер N2("), начиная с которого все члены

последовательности fbng удовлетворяют неравенству jbn bj < j" j ( ).

2 M

Обозначим через N = maxfN1("); N2(")g. Тогда для всех номеров n > N справедливы оба неравенства (*) и (**). Имеем

делению предела lim (anbn) = ab.

n!1

Приведем еще одно доказательство этого пункта теоремы. Последовательность

fang сходится и lim an = a. Тогда an = a + n и последовательность f ng беско-

n!1

нечно малая. Последовательность fbng сходится и lim bn = b. Тогда bn = b + n è

n!1

последовательность f ng бесконечно малая. Имеем anbn = (a + n)(b + n) = ab + a n + b n + n n.

Последовательность a n + b n + n n бесконечно малая (следствия ?? è ??). Ïî

теореме ?? lim anbn = ab.

n!1

Теорему ?? мы доказывали при условии, что обе последовательности имеют конечные пределы и предел знаменателя дроби отличен от нуля.

величине ничего определенного сказать нельзя. Для раскрытия неопределенностей существуют специальные приемы.

Пример 2.1. Докажите по определению, что

à) lim 1 = 0 ïðè > 0;

n!1 n

á) lim qn = 0 ïðè jqj < 1.

n!1

Задание 2.1. Вычислите lim 6n22 5n + 17.

n!1 n + 7n + 12

Решение . Данная дробь представляет собой неопределенность вида 11. Чтобы раскрыть ее, вынесем за скобки в числителе и знаменателе самую большую степень n, òî åñòü n2. Получим

23

Решение . Данная дробь представляет собой неопределенность вида 1 1. Чтобы раскрыть ее, приведем сначала дроби к общему знаменателю, а затем будем действо-

24

Решение . Данная дробь представляет собой неопределенность вида 11. Чтобы раскрыть ее, нужно избавиться от радикала в выражении вида 1 1. Для этого

Вынесем за скобки в числителе и знаменателе n

ведении бесконечно малой последовательности на ограниченую (теор. ??), получим,

3. Предельный переход в неравенствах.

Сформулируем и докажем несколько теорем о вычислении пределов в неравенствах.

Теорема 3.1. Пусть последовательность fang сходится. Если, начи- ная с некоторого номера (то есть для всех n > n0) выполняется нера-

венство an 6 c (an > c), òî lim an 6 c ( lim an > c).

n!1 n!1

25

В теореме утверждается, что если lim an = a è an 6 c, òî a 6 c.

n!1

Заметим, что если an < c (неравенство строгое), то lim an 6 c (íåðà-

n!1

венство не является строгим). Существуют примеры последовательно-

Теорема 3.2. (о предельном переходе в неравенствe.) Если после-

довательности fang è fbng сходятся, и, начиная с некоторого номера (то есть для всех n > n0) выполняется неравенство an 6 bn (an > bn),

Доказательство. Пусть при n > n0 справедливо неравенство an 6 bn. Это значит,

÷òî ïðè n > n0 an bn 6 0. Применим теорему ??. Получим, что lim (an bn) 6 0

n!1

èëè lim an 6 lim bn.

n!1 n!1

Теорема 3.3. (теорема о зажатой последовательности). Пусть

заданы три последовательности fang, fbng è fcng и их члены связаны неравенством an 6 bn 6 cn. Если последовательности fang è fcng сходятся к одному пределу, то последовательность fbng сходится к этому же пределу.

Обозначим через N = maxfN1; N2g и пусть n > N. Тогда справедливы оба неравенства (*) и (**). Из этих неравенств и условия теоремы вытекает, что

a " < an < bn < cn < a + ".

Следовательно, последовательность fbng сходится и lim bn = a.

n!1

Пример 3.1. Вычислите lim 3n

n!1 n! .

26

4. Монотонная последовательность и ее предел.

Сформулированная в этом параграфе теорема имеет большое теоретическое значение.

Теорема 4.1. Всякая монотонно возрастающая (монотонно убывающая) ограниченная сверху (ограниченная снизу) последовательность имеет предел.

В теореме утверждается, что если выполнены условия an+1 > an è

an 6 M (an+1 6 an è an > m), то существует lim an. Доказывается, что

n!1

для монотонно возрастающей последовательности lim an = supfang, à

n!1

для монотонно убывающей последовательности lim an = inffang.

n!1

Если последовательность fang возрастает и не ограничена сверху, то

полагают, что lim an = +1, если последовательность fang убывает и не

n!1

ограничена снизу, то полагают, что lim an = 1.

n!1

В теореме утверждается, что lim an существует, но не указывается,

n!1

как его найти. Однако сам факт существования предела часто позволяет вычислить этот предел.

для всех n > 3, то последовательность fang является монотонно убывающей. По