Вариационные методы в механике
..pdf
d |
|
(a cos x b sin x) a sin x b cos x, |
|||||||
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
d 2 |
|
|
(a cos x b sin x) |
d |
( a sin x b cos x) a cos x b sin x (a cos x b sin x), |
||||
dx2 |
dx |
||||||||
|
|
|
|
u |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d |
|
(cex de x ) cex de x , |
|||||||
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
d 2 |
|
|
(cex de x ) |
d |
(cex |
de x ) cex de x . |
|||
dx2 |
|
|
|||||||
|
|
dx |
v |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак
ua cos x b sin x,
vcex de x ,
или
y1 y2 a cos x b sin x,
y1 y2 cex de x .
Получили систему из двух линейных уравнений для нахождения y1, y2 . Из этой системы
y1 12 (a cos x b sin x cex de x ), y2 12 (a cos x b sin x cex de x ).
y (x) |
1 |
|
(a cos x b sin x cex de x ), |
|||
|
|
|||||
1 |
|
2 |
|
|
||
Ответ: |
|
|
|
|||
|
1 |
|
||||
y |
(x) |
(a cos x b sin x cex de x ). |
||||
|
|
|
||||
2 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
||||
Задача 5.
Запишем уравнение Эйлера для функционала
|
|
1 |
'2 |
|
1 |
'2 |
|
1 |
|
|
J u dx1dx2 |
|
ux1 |
|
|
ux2 |
|
|
u . |
||
2 |
2 |
2 |
||||||||
G |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение
Данный функционал зависит от функции
функция F(x1, x2 ,u,ux' 1 ,ux' 2 ) в данном случае есть F Уравнение Эйлера записывается в виде
F |
|
F |
|
|
|
F |
0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
u |
x u' |
x u' |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
1 x1 |
|
2 |
|
x2 |
|
|||
u(x1, x2 ) . Соответствующая
1 u'2 1 u'2 1 u .
2 x1 2 x2 2
Имеем
F |
u, |
F |
u' , |
F |
u' . |
|
u |
ux' |
ux' |
||||
|
x1 |
x2 |
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
Поэтому уравнение Эйлера будет
|
|
' |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
u |
|
ux |
|
|
ux |
0, |
u ux x |
ux x |
0. |
||
x1 |
x2 |
||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
1 1 |
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
Или
2u |
|
2u |
u 0 |
|
|
u 0. |
x2 |
x2 |
или ux1x1 |
ux2x2 |
|||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
Ответ: 2u 2u u 0 .
x12 x22
Задача 6.
Записать уравнение Эйлера для функционала
|
|
1 |
u 2 |
|
1 |
u 2 |
|
|
||
J u dtdx |
|
|
|
|
|
|
|
eu , |
где const . |
|
|
|
|||||||||
G |
|
2 |
t |
|
2 |
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Данный функционал зависит от функции двух переменных u(t, x) .
Соответствующая |
|
функция |
F(t, x,u(t, x),u' |
,u' |
) в данном случае есть |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
x |
|
|
|
|
F |
|
1 |
u 2 |
|
1 |
u |
2 |
eu . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
t |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Уравнение Эйлера записывается в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
F |
|
|
F |
|
|
F |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x u' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
u |
|
|
t u' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F |
eu , |
|
F |
u' , |
|
F |
|
u' . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
u |
|
|
|
|
u' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
' |
|
|
t |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поэтому уравнение Эйлера будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
ut |
|
|
( ux ) 0, |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
e |
|
0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
' |
|
|
x |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
2u |
|
|
2u eu 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 7.
Записать уравнение Эйлера для функционала
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t |
x |
|
|
J |
|
u |
|
|
G |
dtdx |
2 |
g(u) |
|
u 2 |
u 2 |
, |
здесь g(u) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение Эйлера приводится к виду
- заданная функция u . Показать, что
2u |
|
2u |
|
1 |
(ln g(u)) (u 2 |
u 2 ) 0. |
t2 |
x2 |
|
||||
|
|
2 |
t |
x |
Решение
Данный функционал зависит Соответствующая функция
F |
1 |
g(u)(u 2 |
u 2 ).. |
|
|||
|
2 |
t |
x |
|
|
|
Уравнение Эйлера имеет вид
F |
|
F |
|
F |
0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
u |
t u' |
x u' |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
x |
|
|
Имеем
F |
|
1 |
g (u)(u 2 |
u 2 ), |
F |
g(u)u , |
u |
|
u' |
||||
|
2 |
t |
x |
t |
||
|
|
|
|
|
t |
|
от функции |
двух переменных |
u(t, x) . |
F(t, x,u(t, x),u' ,u' |
) в данном случае |
есть |
t x |
|
|
F' g(u)ux' .
ux
Уравнение Эйлера запишется так
|
1 |
g (u)(u 2 |
u 2 ) |
|
(g(u)u ) |
|
( g(u)u ) 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
t |
|
x |
t |
t |
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Преобразуем это уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
g (u)u u g(u)u g (u)u u |
g(u)u |
|
1 |
g (u)u 2 |
|
1 |
g (u)u 2 |
0. |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
t t |
|
|
tt |
|
|
x x |
|
|
xx |
|
2 |
|
t |
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
g(u)(u u |
) |
1 |
g (u)(u 2 |
u 2 ) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
tt |
xx |
2 |
|
|
t |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Или
u u |
|
1 |
|
d ln g(u) |
|
|
|||
tt xx |
|
2 du |
||
|
|
|||
Ответ: 2u 2u
t2 x2
(u 2 |
u 2 ) 0. |
|
||
|
|
t |
x |
|
|
1 |
(ln g(u)) (u 2 |
u 2 ) 0. |
|
|
|
|||
2 |
|
t |
x |
|
|
|
|
||
Вопросы для самоконтроля.
1.Что изучает вариационное исчисление?
2.Что такое функционал?
3.Вариация функции.
4.Приращение функционала.
5.Когда функция y0(x) доставляет функционалу J[y] максимум?
6.Когда функция y0(x) доставляет функционалу J[y] минимум?
7.Уравнение Эйлера-Лагранжа.
8.Геометрическая формулировка основной задачи вариационного исчисления.
9.Что такое вариация функционала J[y].
10.Что такое вариационная производная.
11.Что такое функциональная производная.
12.Как обозначается функциональная производная ?
13.Форма записи вариации функционала J[y].
14.Необходимое условие экстремума функционала
15.Уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала зависящего от двух функций одного переменного
16.Уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала зависящего от n функций одного переменного
17.Уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала зависящего от функции нескольких переменных
Литература
1.Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: «Наука», 1969. 424 с.
2.И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 228 с.
3.М.Л. Краснов, Р.И. Макаренко, А.И. Киселев. Вариационное исчисление. М.: УРСС, 2002. 166 с.