Вариационные методы в механике

y'

C1

dy

C1

dy

C1

dx y

C1

dx C

C1

C .

x2

x2 dx x2

x2

2

x

2

Экстремали y

C1

C

- семейство гипербол.

x

2

F

d

F 0 .

y

dx y'

В данном случае F y'2

2yy' 16y2 , тогда

F

2 y' 32 y,

F

2 y' 2 y.

y

y'

Уравнение

Эйлера

принимает

вид

2 y' 32 y

d

(2 y' 2 y) 0 2 y' 32 y 2 y'' 2 y' 0 y'' 16 y 0.

dx

p2 16 0 p 4i корни чисто мнимые. Значит,

решение надо искать в

виде

y a cos 4x bsin 4x.

Проверим,

y' 4a sin 4x 4b cos 4x,

y'' 16(a cos 4x bsin 4x) 16y y'' 16y 0.

Экстремаль имеет вид

y a cos 4x bsin 4x, a,b - произвольные постоянные.

F

d

F

0 .

y

dx y'

В данном случае F xy' y'2 . Тогда

F

0,

F

x 2 y'.

y

y'

Уравнение Эйлера принимает вид

d

(x 2 y' ) 0 x 2 y'

C

const.

dx

1

Отсюда y'

1

(C x) dy

1

(C x)dx y

1

(C x)dx C

1

(C x

x2

)dx C .

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

Экстремаль

имеет

вид

y

x2

1

C x C .

Найдем

C ,C

из

условия

4

2

1

2

1

2

y(0) 1, y(1) 2.

y(0) C C 1. y(1)

1

1

C C 2

1

1

C 2 C 1

1

C 1

1

5

C

5

.

2

2

4

2

1

2

4

2

1

2

2

1

4

4

1

2

y'

'

F

'

В данном случае

F e

tgy

. Значит

0 .

y

Уравнение Эйлера принимает вид

d F

0

F const C.

dx y'

y'

F

ey' tgy' ey'

1

ey' (tgy'

1

) C y' const C .

y'

cos2

y'

cos2 y'

1

dy

C dy C dx y C x C

.

dx

1

1

1

2

Находим y(0) C2

0

C2 0. y(1) C1 C2 1 C1 1.

Окончательно, искомая экстремаль есть y x .

Рассмотрим

множество

функций

одной

переменной

M y y(x), z z(x),..., x [a,b] ,

таких , что все функции

из

М

удовлетворяют условиям

y(a) y1, y(b) y2

z(a) z1,

z(b) z2 .

(1)

...............................

Введем функцию

F(x, y(x), y (x), z(x), z (x)) ,

где

y(x), z(x)

-

две

произвольные функции и построим интеграл

b

J [ y, z] F (x, y(x), y (x), z(x), z (x))dx .

(2)

Рис. 3.

Рис.4.

Выражение (2) является функционалом, зависящим от двух функций

y(x), z(x) . Задача ставится так: найти две

y y0 (x) и

z z0 (x) для которых

данный функционал (2) имеет экстремум.

Решение задачи проводится совершенно аналогично тому как это

было сделано в §1. Пусть при

y y0 (x) , z z0 (x)

функционал (2) имеет

экстремум. Рассмотрим

J[ y0 αδy, z0 βδz] , где α

и β - произвольные

вещественные переменные, а δy(x) , δz(x)

- произвольные функции. Так как

J [ y0 , z0 ] есть экстремальное значение, то

dJ [ y0

αδy, z0

]

0,

dJ [ y0 , z0 βδz]

0 .

dα

dβ

α 0

β 0

F

n

F

0 .

f

x

f

i 1

i

xi

Задача 1.

Найти экстремали функционала

J y1, y2

b

( y1'2 (x) y2'2 (x) y1' (x) y2' (x) y1 (x) y2 (x))dx .

a

Решение

Данный функционал зависит от двух функций y1(x)

и y2 (x) . Функция

F(x, y , y , y'

, y' )

в

данном

случае

имеет

вид

1

2

1

2

F

d F

0 ,

F

d F

0.

y

dx y'

y

dx y'

1

1

2

2

Имеем

F 1,

F 2 y'

y'

,

y

y'

1

2

1

1

F

1,

F

2 y

' y

' .

y2

y2'

2

1

Поэтому уравнения Эйлера имеют вид

1

d

(2 y' y'

) 0,

1

d

(2 y'

y' ) 0,

то есть

d

(2 y'

y'

) 1,

d

(2 y'

y'

) 1.

dx

1

2

dx

2

1

dx

1

2

dx

2

1

Интегрируя обе части, получим

2 y' y'

x C

1

2

1

y'

x C

2 y'

2

1

2