Вариационные методы в механике

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

δJ [ y] . Выражение

называется

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

538.1 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

(ТУСУР)

Кафедра механики и графики

УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой МиГ

______________ Люкшин Б.А.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению практических работ по вариационным методам в механике

для студентов всех специальностей

Указания рассмотрены и одобрены на методическом семинаре кафедры МиГ, протокол № 74 от 19.09.2011 г.

2012

Методическая разработка содержит указания по проведению практических работ по дисциплине «Вариационные методы в механике» и

предназначена для студентов всех инженерных специальностей,

изучающих данную дисциплину.

Разработчик: профессор кафедры МиГ

Герасимов А.В.

Содержание
Вариационные методы в механике	4
1. Уравнения Эйлера-Лагранжа	4
1.1 Понятие функционала и его экстремума.	4
Задача 1	7
Задача 2	8
Задача 3	9
Задача 4	10
Задача 5	11
Задача 6	11
Задача 7	12

2.Обобщения основной задачи вариационного исчисления

2.1Необходимые условия экстремума функционалов,

зависящих от нескольких функций		13
	Задача 1	16
	Задача 2	17
	Задача 3	19
	Задача 4	20
	Задача 5	21
	Задача 6	22
	Задача 7	23
3.	Вопросы для самоконтроля	24
4.	Литература	25

Здесь приведены основные понятия и представлены подходы к

решению относительно простых задач вариационного исчисления.

Рассматриваемый материал является необходимой базой для решения

более сложных вариационных задач механики сплошных сред.

Элементы вариационного исчисления.

1.Уравнения Эйлера-Лагранжа.

1.1.Понятие функционала и его экстремума.

Рассмотрим множество	дважды	дифференцируемых	функций
y y(x), x [a,b] , таких, что	для всех	функций из этого	множества
выполняется y(a) y1, y(b) y2 . y1, y2 - фиксированы.

Рис. 1.

Геометрически множество указанных выше функций можно трактовать как множество кривых на плоскости начинающихся в фиксированной точке A и заканчивающихся в другой фиксированной точке B .

Введем функцию F(x, y(x), y (x)) , имеющую непрерывные частные производные по всем трем переменным до второго порядка включительно. Используя эту функцию построим определенный интеграл

b
J F (x, y( x), y ( x))dx .	(1)
a
Очевидно, что для каждой заданной функции	y y(x) этот интеграл

является некоторым числом. Если в качестве функций y y(x) подставлять различные функции из указанного выше множества, то будем, вообще

y(x)

говоря, получать различные числа. В результате возникает отображение

рассмотренного	выше	множества функций V y y(x), x [a,b]		в
некоторое подмножество из
		M
		b
	y(x) M J F (x, y(x), y (x))dx		.
		a
Обратим	внимание,	что введенное отображение ставит		в

соответствие каждой функции некоторое действительное число.

Отображение указанного			вида	называется функционалом. Функции
y y(x)	называются		аргументами		функционала,	а	числа
b
J F (x, y( x), y ( x))dx		называются значениями функционала.					Это
a
обстоятельство записывается так				J J [ y] .
Вариационным исчислением называется раздел математики,
изучающий экстремумы, то есть				максимумы и минимумы		функционалов.

Основная задача вариационного исчисления звучит следующим образом: из всех функций y y(x) M найти такую (такие), которая (которые) доставляет (доставляют) функционалу J [ y] максимум или минимум.

Пусть - функция доставляющая функционалу J [ y] экстремум. Это значит, что если мы рассмотрим другую достаточно близкую в некотором смысле функцию y0 (x) , то J [ y0 ] либо всегда больше либо всегда

меньше чем	J [ y] .	Выражение	δy(x) y(x) y0 (x) называется вариацией
функции. Выражение J[ y0 ] J[ y0				δy] J[ y] называется приращением
функционала	J [ y] .	Функция	y0 (x)	доставляет функционалу максимум,

если J [ y0 ] 0 , минимум, если J [ y0 ] 0 . Наша цель состоит в том, чтобы найти необходимые условия экстремума функционала J [ y] .

1.2. Необходимое условие экстремума.
Пусть y0 (x) - функция,	доставляющая	экстремум. Рассмотрим
вариацию δy(x) αh(x) , где α - произвольное действительное число, а			h(x)
- произвольная функция из M .	Рассмотрим	J[ y0 δy] J[ y0 αh] .	Это

выражение является обычной функцией вещественной переменной α . Так

как J [ y0 ]	есть	экстремальное значение функционала, то функция
f (α) J [ y0	αh]	имеет экстремум при α 0 . Необходимое условие

экстремума функции одной переменной хорошо известно: это равенство нулю первой производной

df (α)	0	dJ [ y0	αh]	0 .	(2)

dα		dα
	α 0			α 0

Вычислим производную по α . Имеем

dJ [ y0 αh]

dα

	b
J [ y αh] J		F (x, y (x) αh(x), y		(x) αh (x))dx
0		0	0

		a
b	F(x, y (x) αh(x), y (x) αh (x))
	0	0
	0	0
a		( y0 (x) αh(x))

	F(x, y (x) αh(x), y		(x) αh ( x))	h (x
h(x)	0	0
h(x)	( y	(x) αh (x))
	( y	(x) αh (x))
	0

Теперь положим α 0 . Находим

dJ [ y0 αh]

dα

	b	F (x, y (

		0

α 0	a	y0

x), y (x))

(x)

	F (x, y	0	(x), y
h(x)		0		0
h(x)	y			(x)
	y			(x)
			0

(x))
	h (x) dx .

Вспоминая соотношение (2) получим

b	F (x, y , y )			h	F (x, y , y )
	y	0	0	h	y	0	h dx 0
		0	0		0	0
a	0				0

(3)

Преобразуем это выражение. Рассмотрим второй член и проинтегрируем его по частям. Имеем

Положим

Поэтому

u	F (x, y	, y )	,
u	0	0	,
	y
	0

b F ( x, y			, y )	h dx .
		0	0
	y
a	0

v h dx . Тогда v h,

	d	F (x, y , y )
du		0	0	dx .
	dx	y

		0

F (x, y , y )

h dx

F (x, y , y )

hdx .

		(4)
Теперь заметим, что		для всех	функций	y(x) выполняется
y(a) y1, y(b) y2 .	То	есть	y0 (a) y1, y0 (b) y2		и
y0 (a) αh(a) y1, y0 (b) αh(b) y2 . Это значит, что h(a) 0,				h(b) 0 .

В результате первый член в равенстве (4) обращается в ноль. Возвращаясь к соотношению (3) получим

b	F (x, y , y )				d F (x, y , y )
	y	0	0	dx		y	0	hdx 0 .
		0	0			0	0
a	0					0

Это равенство должно выполняться для произвольной функции Следовательно подынтегральное выражение обращается в ноль и получим, что при y y0 (x) выполняется уравнение

F (x, y, y )		d F (x, y, y )		0 .
y		dx	y

h(x) .

мы

(5)

Это уравнение называется уравнением Эйлера-Лагранжа. Уравнение Эйлера-Лагранжа представляет собой дифференциальное уравнение

второго порядка. Его решением является функция y y0 (x) ,

обеспечивающая экстремум исходному Геометрически, основная задача вариационного исчисления звучит

так: из всех кривых, соединяющих две заданные точки на плоскости найти такую кривую y y0 (x) для которой функционал (1) имеет экстремум.

Чтобы найти такую кривую надо решить дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа (5).

b F

Выражение

a y

J [ y] и обозначается

d F αhdx называется вариацией функционала

dx y

вариационной или функциональной производной и обозначается						δJ [ y]	. С
вариационной или функциональной производной и обозначается							. С
						δy( x)
		b	δJ [ y]
учетом этих	обозначений	δJ [ y]	δJ [ y]	δy(x)dx .	Необходимое	условие
учетом этих	обозначений	δJ [ y]		δy(x)dx .	Необходимое	условие
		a	δy(x)
		a
экстремума	функционала	принимает простой			вид δJ [ y] 0 ,	откуда

	δJ [ y]		0 .
	δy( x)

Задача 1.

Найти экстремали y0 (x) функционала

J y 1 y' (x)2 dx

и вычислить J y0 .

Рис. 2.

Решение

Запишем уравнение Эйлера в данном случае F(x, y, y' ) 1 y'2 . Уравнение Эйлера имеет вид

d F

0 . В данном случае

Получаем уравнение

dx y'

1 y'2

const y'

const C .

Имеем

дифференциальное

1 y'2

уравнение

y' (x) C y(x) C x C ,

C ,C произвольные

постоянные.

Итак, экстремали есть

y0 (x) C1x C2 - семейство прямых линий.

J y0

1 y0'2 (x)

1 C12 dx (b a) 1 C12 .

Задача 2.

Найти экстремали функционала

J y

1 y

dx .

Решение

Запишем уравнение Эйлера в данном случае F (x, y, y

' )

1 y'2

. Уравнение

Эйлера есть

0 .

dx y'

В данном случае

x 1 y'2

Получаем уравнение

const C .

1 y'2

Рассмотрим дифференциальное уравнение

C1.

1 y'2

Для его решения положим y' tg t , где t -

произвольный параметр. Тогда

sin2 t

sin2 t cos2 t

1 y'2

1 tg2t

Значит

cos2 t

cos t

tg t cos t

sin t

const.

sin t

1 sin t, где C1

Запишем

уравнение

y' tgt

sin tdt,

sin tdt C2

cos t C2 .

tgt dy tg tdx tg tC1

cos tdt

В результате мы имеем экстремали в параметрической форме

x C1 sin t,

y C1 cos t C2 .

Отсюда y C2

1 cos t,

1 sin t. Значит

x2 ( y C )2

12 cos2 t

12 sin2 t

. Получили уравнение

x2 ( y C )2

12 -

семейство окружностей с центром в точке (0,C2 ) и радиусами C1 .

Задача 3.

Найти экстремали функционала


b	1 y		'2
J y	1 y			dx .
J y		y		dx .
a		y
a

Решение

Запишем уравнение Эйлера.

F d F 0 .

y dx y'

В данном случае F

1 y'2

F ( y, y' )

от x

не зависит. Преобразуем сначала

уравнение Эйлера для случая когда F ( y, y' ) .

Имеем

d F ( y, y' )

2 F ( y, y' )

y'' .

dx y'

y y'

y' y'

Обозначим

F ,

F ' ,

2 F

F ' ,

2 F

F ' ' .

y y'

y' y' y y

Уравнение принимает вид

Fy Fyy' y' Fy' y' y'' 0.

Умножим обе части на y' , имеем y' Fy Fyy' y'2 Fy' y' y' y'' 0.

Рассмотрим производную

d	(F y' F ' ( y, y' )) F y' F			' y'' y'' F ' y' F '		y' y' F '	' y'' y' F F		' y'2 y' F ' ' y''	-

dx	y	y	y	y	y y	y y	y	yy	y y

левая часть предыдущего уравнения. Поэтому рассматриваемое уравнение можно переписать так

d	(F y' F	' ) 0	F y' F	' const.

dx	y		y

В данном случае

F ( y, y'

)

1 y'2

F '

Получим

уравнение

y 1 y'2

1 y'2

y'2

const C1.

Для решения

данного

дифференциального

1 y'2

уравнения положим y' tg t.

Тогда

1 y'2

Имеем

cos t

tg2t cos t

(1 sin2 t) C

cos t C y C1 cos t, где

y cos t

const.

y' tg t

cos t

Запишем

уравнение

tg t dx

C ( sin t)dt C cos tdt.

tg t

sin t

Отсюда

x (

cos t)dt C2

C1 sin t C2 .

В итоге

x C1 sin t C2 , y C1 cos t.

Это если экстремали в параметрической форме. Исключим параметр t :

x C2 C1 sin t,

y C1 cost

(x C )2 y2

12 (sin2 t cos2 t) (x C )2

12.

Экстремали

представляют собой семейство окружностей с центром в точке (C2 , 0) и

радиусами

Задача 4.

Найти экстремали функционала

J y y' (1 x2 y' )dx .

Решение

Запишем уравнение Эйлера F d F 0 .

y dx y'

В данном случае F y' (1 x2 y' ) y' x2 y'2 .	F	0,	F	1 2x2 y'.
	y		y'

Получаем уравнение	d	(1 2x2 y' ) 0 1 2x2 y' C const x2 y'	C 1	C .

	dx	2		1

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023373.43 Кб4Вакуумные и плазменные приборы и устройства.-5.pdf
#
05.02.2023457.44 Кб5Вакуумные и плазменные приборы и устройства.-6.pdf
#
05.02.20232.35 Mб5Вакуумные и плазменные приборы и устройства.-7.pdf
#
05.02.20232.27 Mб3Вакуумные и плазменные приборы и устройства..pdf
#
05.02.20231.96 Mб5Вакуумные и специальные вопросы технологии приборов квантовой и оптической электроники..pdf
#
05.02.2023538.1 Кб11Вариационные методы в механике..pdf
#
05.02.2023393.13 Кб2Введение в инноватику..pdf
#
05.02.2023852.42 Кб12Введение в квантовую и оптическую электронику..pdf
#
05.02.20231.41 Mб3Введение в математику.-1.pdf
#
05.02.20231.41 Mб2Введение в математику..pdf
#
05.02.20238.08 Mб6Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.pdf