Лекция 16 принцип суперпозиции и его применение

16.1. Принцип суперпозиции

Индукцию (напряженность) магнитного поля системы проводников с токами определяют по принципу суперпозиции: индукция магнитного поля системы проводников с токами в данной точке равна геометрической сумме индукций магнитных полей, созданных каждым проводником в этой точке

(16.1.1)

или .

аналогичное выражение можно записать для напряженности магнитного поля

(16.1.2)

или

.

Индукцию магнитного поля, созданного проводником с током, можно определить, если разбить проводник на элементы тока и суммировать индукции магнитных полей всех элементов тока. Применяя формулу закона Био-Савара-Лапласа, можно записать

, (16.1.3)

аналогично выражение получается для напряженности магнитного поля

.

16.2. Магнитное поле прямолинейного проводника с током

Рассмотрим два случая расчета индукции (напряженности) магнитного поля, созданного прямолинейным проводником с током.

А) В прямолинейном проводнике конечной длины (рис. 16.2.1) идет ток . Вычислим индукцию магнитного поля в точке А, расположенной на расстоянии R от проводника. Выберем на проводнике элемент длины (отрезок СД) и запишем принцип суперпозиции для индукции магнитного поля, подставив в него формулу закона Био-Савара-Лапласа,

. (16.2.1)

В треугольнике CDF обозначим угол , тогда катет DF равен

DF = .

С другой стороны отрезок DF можно определить как длину дуги окружности, центр которой находится в точке А. Радиус окружности обозначим , а угол при вершине равен . Получаем DF = , тогда

= . (16.2.2)

Подставляя формулу (16.2.2) в выражение (16.2.1), можно записать

.

Сокращая на радиус , и заменяя в знаменателе радиус выражением из треугольника COA

,

получаем формулу, для которой углы и представлены на рис. 16.2.2

.

Из чертежа видно, что угол - это угол между направлением тока (или продолжением направления тока) и направлением радиус-вектора, проведенного из конца проводника в точку наблюдения.

Интегрирование проводим по углу

B= .

Окончательно можно записать формулу индукции магнитного поля, созданного прямолинейным проводником конечной длины,

= . (16.2.3)

Аналогичное выражение получается для напряженности магнитного поля

. (16.2.4)

На рис. 16.2.2. показано, что магнитная индукция (и напряженность) в точке А направлена перпендикулярно плоскости чертежа к нам, по касательной к линии индукции.

Б ) Для определения индукции магнитного поля, созданного проводником бесконечной длины (рис. 16.2.3), можно взять формулу магнитной индукции поля проводника конечной длины

.

При увеличении длины проводника до бесконечности угол а угол . Подставляя значения углов, вычисляем значения косинусов и сокращаем на 2 числитель и знаменатель. Окончательно получаем индукцию магнитного поля, созданного проводником бесконечной длины,

. (16.2.5)

аналогичное выражение получается для напряженности магнитного поля

. (16.2.6)

Магнитная индукция и напряженность в точке А направлены перпендикулярно плоскости чертежа к нам.