Лекция 13 законы кирхгофа

Для облегчения применения законов Ома при решении задач, относящихся к электрической цепи с установившимся режимом, Кирхгоф вывел два закона или вернее сказать правила. Рассмотрим их.

Первый закон относится к узлам. Под узлом понимают место, где сходятся три и более ветвей. Например, на рис. 13.1.1. - узлы, а - не узел. Ветвью называется участок цепи между двумя соседними узлами.

На основании принципа непрерывности электрического тока количество электричества, подходящего к узлу, должно равняться количеству электричества, уходящего от узла за тот же промежуток времени. Отсюда вытекает первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю. Математически это утверждение запишется

.

Причем подходящий ток берется со знаком "плюс", а отходящий со знаком "минус" (можно и наоборот). Запишем уравнение Кирхгофа по первого закону для узла (рис. 13.1.2):

или

или

.

На основании последней записи первый закон Кирхгофа можно сформулировать иначе: арифметическая сумма сил токов приходящих к узлу, равна арифметической сумме сил токов, отходящих от этого узла.

Если имеется узлов, то по первому закону независимых уравнений можно составить только . Например, для рис. 13.1.3 . Тогда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, будет (2 – 1 = 1).

В самом деле: для узла A

;

- для узла B

.

Эти уравнения равнозначны, так как, умножив одно из них на , получим тождество.

Участок цепи между соседними узлами называется ветвью. В данной ветви в любой ее точке протекает один и тот же ток.

Второй закон Кирхгофа гласит: в любом замкнутом контуре, выделенном из электрической цепи, алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. Математически этот закон запишется

.

Докажем этот закон. Дня этого из сложной цепи выделим замкнутый контур (рис. 13.1.3).

Запишем для каждой ветви закон Ома:

;

;

.

Сложим эти три уравнения почленно, получим

,

что и требовалось доказать.

Методика применения законов Кирхгофа для решения задач следующая:

1. В ветвях произвольно расставить направление тока.

2. Подсчитать число узлов n в схеме.

3. Записать по первому закону число уравнений на одно меньше, чем узлов .

4. Выбрать произвольно направление обхода контуров и записать для независимых контуров уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом следует помнить, что:

- независимым контуром называется такой контур, в котором есть хотя бы одна ветвь, не входящая в уже ранее взятые (рассмотренные) контуры;

- число независимых контуров равно числу ветвей p в рассматриваемой схеме минус число узлов n в этой схеме плюс единица ;

- произведение тока I на сопротивление R (IR) берется со знаком "плюс", если направление тока совпадает с направлением обхода. Если не совпадает с знаком "минус".

- ЭДС берется со знаком "плюс", если направление обхода происходит в сторону убывания потенциала, т.е. направление обхода совпадает с направлением действия ЭДС. Применяем эту методику для составления системы уравнений по правилам Кирхгофа. для рис. 13.1.3 получим

Далее в эту систему уравнений нужно подставить все численные значения из условия задачи и решить систему уравнений. Если в результате решения уравнений некоторые токи будут иметь отрицательное значение, то это означает, что их действительное направление в данной ветви противоположно тому, которое было произвольно выбрано. Для проверки правильности найденных токов составляют уравнение баланса мощностей.

Из закона сохранения энергии следует, что в электрической цепи алгебраическая сумма мощностей источников ЭДС равна арифметической сумме мощностей всех приемников. Математически это запишется

.

Если действительные направления ЭДС источника и тока в нем совпадают, то мощность такого источника ЭДС входит в уравнение баланса мощностей со знаком "плюс" и источник отдает энергию. Если не совпадают, то мощность записывается со знаком "минус" (источник ЭДС потребляет энергию).

Совпадение баланса мощности говорит о правильности найденных токов.