9.4. Применение теоремы Остроградского–Гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса позволяет выразить связь между электрическим зарядом и смещением (или напряженностью) электрического поля в очень компактной форме. С помощью этой теоремы удается легко найти смещение (и напряженность) поля в случае, когда распределение зарядов оказывается простым и симметричным. При этом, однако, необходимо особое внимание обратить на выбор поверхности интегрирования. Обычно эту поверхность выбирают таким образом, чтобы смещение электрического поля было постоянно по всей поверхности, или, по крайней мере, на определенных ее участках.

При расчете электростатических полей поверхность интегрирования, проходящую через рассматриваемую точку поля, выбирают так, чтобы поток вектора смещения поля сквозь эту поверхность легко выражался через искомое значение вектора смещения.

Рассмотрим несколько примеров расчета полей симметричных систем зарядов.

9.4.1. Поле равномерно заряженной сферы

Пусть заряд q равномерно распределен по тонкой сферической оболочке радиусом R с поверхностной плотностью . Определим напряженность поля, созданного этим зарядом в любой точке на расстоянии r от центра сферы (рис. 9.4.1).

Рис. 9.4.1

Поскольку заряд распределен симметрично, электрическое поле также должно быть симметричным. Смещение направлено вдоль радиуса сферы и одинаково во всех точках воображаемой сферы радиусом r, концентричной с заряженной сферической оболочкой радиусом R. Поэтому за поверхность интегрирования удобно взять сферу радиусом r с центром в точке 0. Тогда, с учетом того, что площадь сферы равна , поток вектора смещения определится известной формулой

.

Рассмотрим два случая: при и .

1. Если , то заряд охватывается поверхностью интегрирования и, согласно теоремы Остроградского–Гаусса, .

Отсюда смещение электрического поля равно

, (9.4.1)

а напряженность, в соответствии с выражением (9.1.1), будет равна

. (9.4.2)

Таким образом, поле снаружи равномерно заряженной сферической оболочки имеет такую же напряженность, как если бы весь заряд был сосредоточен в центре сферы.

2. Если , то поверхность интегрирования S не охватывает заряд (q = 0), значит, внутри заряженной сферической оболочки поля нет.

, отсюда и .

Следовательно, напряженность электрического поля во всех точках внутри равномерно заряженной сферической поверхности равна нулю.

Графики зависимостей и представлены на рис. 9.4.2.

9.4.2. Поле равномерно заряженного шара

Пусть заряд q равномерно распределен по объему непроводящего шара радиусом R с объемной плоскостью , размещенного в вакууме. Определим напряженность поля, созданного этим зарядом в точке, расположенной на расстоянии r от центра шара (рис. 9.4.3).

Рассмотрим два случая, когда рассматриваемая точка находится вне ( ) и внутри ( ) заряженного шара.

Рис. 9.4.3

1. Если , то поскольку заряд распределен внутри шара равномерно, электрическое поле также должно быть симметричным. Смещение поля зависит только от r и направлено вдоль радиуса шара. Выберем в качестве поверхности интегрирования сферу , радиусом . Поскольку смещение зависит только от r, то на основании теоремы Остроградского– Гаусса

, отсюда .

Учитывая, что , где - объем шара, получим

. (9.4.3)

Соответственно напряженность поля будет равна

. (9.4.4)

Мы вновь видим, что поле снаружи однородного заряженного шара имеет такую же напряженность, как если бы весь заряд был сосредоточен в центре шара.

2. Если , то в качестве поверхности интегрирования выберем сферу радиусом . В силу симметрии смещение поля постоянно во всех точках поверхности и перпендикулярно ей, а заряд, заключенный внутри сферы , составляет лишь часть заряда q всего шара и равен

.

В этом случае теорема Остроградского–Гаусса запишется следующим образом:

.

Отсюда смещение равно

, (9.4.5)

а напряженность

. (9.4.6)

Таким образом, с увеличением расстояния r от центра шара напряженность поля вначале линейно растет (до r = R), а затем при r < R убывает по закону (рис. 9.4.4).

Ч тобы получить эти результаты с помощью закона Кулона, пришлось бы использовать интегрирование по объему шара, что связано с некоторыми трудностями. Благодаря теореме Остроградского - Гаусса и симметрии задачи решение оказалось почти тривиальным демонстрирует огромные возможности этой теоремы. Разумеется, что теорема Остроградского - Гаусса справедлива для любой поверхности, "простые" поверхности выбираются лишь для облегчения интегрирования.