4.2. Момент силы относительно оси вращения

Из 2^го закона динамики поступательного движения следует, что причиной изменения скорости, появления ускорения, являются силы, действующие на тело.

О пыт показывает, что угловое ускорение вращающегося тела  зависит не только от величины действующей силы, но и от расстояния от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила (пример с дверью: у петель нужно приложить большую силу; чем дальше от оси, тем сила нужна меньшая).

Пусть на некоторую точку А тела действуют силы, равнодействующая которых . Тело вращается относительно оси. Кратчайшее расстояние l от оси вращения до направления действия силы называется плечом силы (рис. 4.2.1).

Моментом силы ( ) относительно оси называется векторное произведение радиуса вектора , проведенного из точки 0 в точку приложения силы , и силы .

.

Момент силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой лежат и . Направление вектора определяется по правилу векторного произведения или по правилу правой руки: 4 согнутых пальца указывают направление, в котором сила вращает тело, а большой отогнутый направление - момента силы .

Рис. 4.2.2

Модуль момента силы (из геометрии) численно равен площади параллелограмма построенного на векторах и .

Тогда модуль момента силы , где - плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из точки 0 на линию действия силы . . _.

4.3. Момент импульса. Основное уравнение динамики вращательного движения

Пусть положение материальной точки относительно некоторой точки 0, характеризуется радиус-вектором . Моментом импульса материальной точки относительно точки 0 называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора материальной точки, проведенного из точки О, на импульс этой материальной точки:

_.

- псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента импульса:

Если , то . Но .

Подставив, получим

.

, ( ).

Продифференцируем по времени выражение и учтем, что, которая совпадает по направлению с ( ).

.

Так как , то или .

Подставим в это уравнение , получим

.

Если применим это уравнение ко всему телу, а не к одной точке, то придется просуммировать все моменты инерции и все моменты сил.

Получим

,

- полный момент всех внешних сил, действующих на тело, относительно оси. При этом суммировании учитывается знак момента силы. Считается положительным такой момент силы, если точка приложения силы обходит ось по часовой стрелке и отрицательным – если против часовой стрелки.

- момент инерции тела.

Окончательно получаем

.

Это основное уравнение динамики вращательного движения. Угловое ускорение, полученное вращающимся телом, прямо пропорционально суммарному моменту сил, действующих на это тело и обратно пропорционально моменту инерции тела.

Момент инерции J – свойство тела к изменению угловой скорости под действием момента внешних сил.

- момент импульса тела относительно любой неподвижной точки 0.

Разные тела под влиянием равных моментов сил M = const получают одинаковые угловые ускорения, если одинаковы их моменты инерции J. Т.о. различные силы эквивалентны в смысле вызываемого ими изменения угловой скорости, если равны их моменты М.