Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1. Если две функции и непрерывны в точке, то функциитакже непрерывны в точке.

Доказательство:

Так как инепрерывны в точке, тои.

Воспользуемся теоремами о пределах функции

Теорема доказана.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке найдётся по крайней мере одна точкатакая, что значение функции в этой точкебудет больше, чем значение функции в любой точке этого отрезка, т.е.; и найдётся по крайней мере одна точкатакая, что значение функции в этой точкебудет меньше, чем значение функции в любой точке этого отрезка, т.е..

Значение функции называется наибольшим значением функции на отрезке, значение функцииназывается наименьшим значением функции на отрезке.

Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то внутри отрезканайдётся по крайней мере одна точка, в которой.

Теорема 4. Если функция непрерывна на отрезкеи на концах отрезка принимает неравные между собой значенияи, то каково бы ни было числовнутри отрезка, такое что, найдётся по крайней мере одна точка, в которой функция принимает значение равное, т.е..

Если в какой-нибудь точке нарушается условие непрерывности (т.е. либо, либо, либо не определена в ), то говорят, что функция в точкетерпит разрыв.