График функции

Зададим прямоугольную декартову систему координат хоу и некоторую функцию у = f( х ). Рассмотрим пары соответствующих значений х иf( х ). Образом этой пары на плоскости служит точка М (х,f(х)). Если переменная х принимает всевозможные значения из области существования функции, получается множество точек плоскости, которое составляет некоторую кривую. Эта кривая называетсяграфикомфункции.

Основные элементарные функции.

Алгебраические операции сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и трансцендентные ( логариф-мические, тригонометрические, обратные тригонометрические ) называются элементарными.

Функция у = у(х) называется элементарной, если её можно задать одним аналитическим выражением, так что каждое значение у получается из х при помощи конечного числа элементарных операций .

Основными элементарными функциями называются следующие:

1. Степенная функция у = хⁿ, где n - любое действительное число.

2. Показательная функция у = а^х, где а > 0, а ≠ 1.

3 .Логарифмическая функция у = log_ax, где а > 0, а ≠ 1.

4. Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x

5. Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x,

y = arctg x, y = arcctg x.

Рассмотрим подробнее основные элементарные функции и их графики.

Линейная функция.

,

.

Функция строго возрастает при , строго убывает при. График функции – прямая линия.

Квадратичная функция.

.

1. При

.

Функция строго убывает на и строго возрастает на. График функции – парабола с осью, вершиной в точкеи ветвями, направленными вверх.

2. При

.

Функция строго возрастает на и строго убывает на. График функции – парабола с осью, вершиной в точкеи ветвями, направленными вниз.

Обобщенная степенная функция .

1. 

.

Функция четная, строго убывает на и строго возрастает на(рис. 1.1).

2. 

.

Функция нечетная, строго возрастает (рис. 1.2).

3. 

.

Функция четная, строго возрастает на и строго убывает на(рис. 1.3).

4. 

.

Функция нечетная, строго убывает на и(рис. 1.4).

5. 

.

При некоторых имогут быть шире.

Экспонента (рис. 1.5).

.

Функция строго возрастает.

Показательная функция (рис. 1.6).

;

.

При функция строго убывает, при строго возрастает.

Логарифмическая функция.

Логарифм натуральный (рис. 1.7).

.

Функция строго возрастает.

Логарифм с основанием (рис. 1.8).

,

.

При функция строго убывает, при строго возрастает.

Тригонометрические функции.

1. (рис. 1.9):

.

Функция нечетная. Период . На каждом из промежутков , , функция строго возрастает, на , , строго убывает.

2. (рис. 1.9):

.

Функция четная. Период . На каждом из промежутков , , строго убывает, на , , строго возрастает.

3. (рис. 1.10):

.

Функция нечетная. Период . Функция строго возрастает на каждом из промежутков , .

4. (рис. 1.11):

.

Функция нечетная. Период . Функция строго убывает на каждом из промежутков , .

Обратные тригонометрические функции.

1. (рис. 1.12):

.

Функция нечетная, строго возрастает.

2. (рис. 1.13):

.

Функция строго убывает.

3. (рис. 1.14):

. Функция нечетная, строго возрастает

4. (рис. 1.15):

. Функция строго убывает.