Бесконечно малые величины. Теоремы о бесконечно малых.

Функция называется бесконечно малой при или при , еслиили.

Например: функция бесконечно малая при; функциябесконечно малая при.

Замечание 1. Никакую функцию без указания направления изменения аргумента бесконечно малой назвать нельзя. Так, функция приявляется бесконечно малой, а приона уже не является бесконечно малой ().

Замечание 2. Из определения предела функции в точке, для бесконечно малых функций выполняется неравенство .Этим фактом мы в дальнейшем будем неоднократно пользоваться.

Установим некоторые важные свойства бесконечно малых функций.

Теорема ( о связи функции, её предела и бесконечно малой): Если функция может быть представлена в виде суммы постоянного числаА и бесконечно малой функции при, то число

Доказательство:

Из условия теоремы следует, что функция .

Выразим отсюда :. Поскольку функциябесконечно малая, для неё справедливо неравенство, тогда для выражения () также выполняется неравенство

А это значит, что .

Теорема (обратная): если , то функцияможет быть представлена в виде суммы числаА и бесконечно малой при функции, т.е..

Доказательство:

Так как , то длявыполняется неравенство(*) Рассмотрим функциюкак единую и неравенство (*) перепишем в виде

Из последнего неравенства следует, что величина () является бесконечно малой при. Обозначим её.

Откуда . Теорема доказана.

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Доказательство:

Проведём доказательство для двух слагаемых, так как для любого конечного числа слагаемых оно приводится аналогично.

Пусть ибесконечно малые прифункции и– сумма этих функций. Докажем, что для, существует такое, что для всехх, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство.

Так как функция бесконечно малая функция, , а следовательно существует такое, что для всехвыполняется неравенство.

Так как функция бесконечно малая функция, , а следовательно существует такое, что для всехвыполняется неравенство.

Возьмём равным меньшему из чисели, тогда в–окрестности точкиа будут выполняться неравенства ,.

Составим модуль функции и оценим его значение.

. то есть , тогда функция бесконечно малая, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции прина ограниченную функциюесть бесконечно малая функция.

Доказательство:

Так как функция ограниченная, то существует такое положительное число, что для всехвыполняется неравенство.

Так как функция бесконечно малая при, то существует такая–окрестность точки, что для всехих этой окрестности выполняется неравенство.

Рассмотрим функцию и оценим её модуль

Итак , а тогда– бесконечно малая.

Теорема доказана.

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций

.

Доказательство:

Для доказательства достаточно рассмотреть две функции, это не нарушит общности рассуждений.

Пусть ,.

По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой, функции иможно представить в виде где и– бесконечно малые при.

Найдём сумму функций и

Величина есть постоянная величина,– величина бесконечно малая. Таким образом, функцияпредставлена в виде суммы постоянной величины и бесконечно малой функции.

Тогда число является пределом функции, т.е.

.

Теорема доказана.

Теорема 2. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций

.

Доказательство:

Не нарушая общности рассуждений, проведём доказательство для двух функций и.

Пусть , тогда,

Найдём произведение функций и

Величина есть постоянная величина,бесконечно малая функция. Следовательно, числоявляется пределом функции, то есть справедливо равенство

.

Следствие: .

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля

.

Доказательство: Пусть ,

Тогда ,.

Найдём частное и проделаем над ним некоторые тождественные преобразования

Величина постоянная, дробьбесконечно малая. Следовательно, функцияпредставлена в виде суммы постоянного числа и бесконечно малой функции.

Тогда .

Замечание. Теоремы 1–3 доказаны для случая . Однако, они могут быть применимы при, поскольку доказательство теорем в этом случае проводится аналогично.

Например. Найти пределы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. . В этом пределе теорему о пределе частного непосредственно применять нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю. Поэтому сначала многочлен, стоящий в числителе разложим на множители, после этого сократим дробь и вычислим предел. ;

5. ;

6. . Теорему о пределе частного здесь применять нельзя, так как числитель и знаменатель конечного предела не имеют. В этом случае сначала числитель и знаменатель делят на степень с наивысшим показателем, а затем переходят к пределу:;

7. Если под знаком предела имеется иррациональность и предел знаменателя равен нулю, то необходимо перенести иррациональность в числитель, для чего домножить знаменатель и числитель на выражение, сопряженное знаменателю.

Первый и второй замечательные пределы.

Функция не определена при. Однако её значения в окрестности точки нуль существуют. Поэтому можно рассматривать предел этой функции при. Этот предел носит названиепервого замечательного предела.

Он имеет вид : .

Например. Найти пределы: 1.. Обозначают, если, то.; 2.. Преобразуем данное выражение так, чтобы предел свёлся к первому замечательному пределу.; 3..

Рассмотрим переменную величину вида , в которойпринимает значения натуральных чисел в порядке их возрастания. Дадимразличные значения: если

Давая следующие значения из множества , нетрудно увидеть, что выражение прибудет. Более того, доказывается, чтоимеет предел. Этот предел обозначается буквой:.

Число иррациональное: .

Теперь рассмотрим предел функции при. Этот предел называетсявторым замечательным пределом

Он имеет вид .

Например.

а) . Выражениезаменим произведениемодинаковых сомножителей, применим теорему о пределе произведения и второй замечательный предел; б). Положим, тогда,.

Второй замечательный предел используется в задаче о непрерывном начислении процентов

При начислении денежных доходов по вкладам часто пользуются формулой сложных процентов, которая имеет вид:

,

где - первоначальный вклад,

- ежегодный банковский процент,

- число начислений процентов в год,

- время, в годах.

Однако, в теоретических исследованиях при обосновании инвестиционных решений чаще пользуются формулой экспоненциального ( показательного ) закона роста

.

Формула показательного закона роста получена как результат применения второго замечательного предела к формуле сложных процентов

Непрерывность функций.

Рассмотрим функцию определённую в некоторой точкеи некоторой окрестности точки. Пусть в указанной точке функция имеет значение.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки , включая саму точку и .

Определение непрерывности можно сформулировать иначе.

Пусть функция определена при некотором значении,. Если аргументудать приращение, то функция получит приращение

.

Пусть функция в точке непрерывна (по первому определению непрерывности функции в точке),

тогда

или .

То есть, если функция непрерывна в точке , то бесконечно малому приращению аргументав этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Справедливо и обратное предложение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна.

Определение 2. Функция называется непрерывной при(в точке), если она определена в этой точке и некоторой её окрестности и если.

Учитывая первое и второе определение непрерывности функции в точке можно получить следующее утверждение:

или , но, тогда.

Следовательно, для того чтобы найти предел непрерывной функции при достаточно в аналитическое выражение функции вместо аргументаподставить его значение.

Определение 3. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.

Например:

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна во всех точках области определения.

Воспользуемся вторым определением непрерывности функции в точке. Для этого возьмём любое значение аргумента и дадим ему приращение. Найдём соответствующее приращение функции

Тогда ;

Пример 2. Доказать, что функция непрерывна во всех точкахиз.

Дадим аргументу приращение, тогда функция получит приращение

Найдём так как функция , то есть ограничена.

Аналогично можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны во всех точках области их определения, то есть область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.

Определение 4. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.