Монотонные функции. Экстремум функции.

Функция у = f(х) называетсявозрастающейна промежутке (а,b), если для любых х₁и х₂из этого промежутка из неравенства х₂> х₁ следует неравенствоf(х₂) >f(х₁), то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция у = f(х) называетсяубывающейна промежутке (а,b), если для любых х₁и х₂из этого промежутка из неравенства х₂> х₁следует неравенствоf(х₂) <f(х₁), то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Например: Функция у = х³ возрастает на всей области определения

Функция у = х²возрастает на интервале ( 0, +∞ ) и убывает на интервале

( - ∞, 0 ).

Точка х₀называетсяточкой максимумафункции у =f(х), если существует такая двусторонняя окрестность точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенствоf(х₀) >f(х)

Точка х₀называетсяточкой минимумафункции у =f(х), если существует такая двусторонняя окрестность точки х₀, что для всехxиз этой окрестности выполняется неравенствоf(х₀) <f(х).

Значение функции в точке максимума называется максимумомфункции, а значение функции в точке минимума называетсяминимумомфункции. Обозначается соответственноy_max,, у_min.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Понятия функциональной зависимости широко используются в экономических моделях (задачах). Посредством элементарных функций и их графиков моделируются взаимосвязи между многими экономическими характеристиками и показателями. Спектр элементарных функций используемых в экономике довольно широкий:

• Линейные;

• Дробно-линейные;

• Степенные;

• Показательные;

• Логарифмические.

Наибольшее распространение имеют функции спроса (или потребления) отражающие зависимость спроса от комплекса факторов, влияющих на него. Примером такой зависимости служит дробно-линейная функция Торнквиста

.

Эта функция описывает зависимость величины спроса на предметы первой необходимости от величины доходов. Соответствующие этим функциям кривые называются кривыми Энгеля по имени впервые изучившего их немецкого ученого.

Для построения графика этой функции достаточно преобразовать ее к виду:

График функции может быть построен растяжения в раз гиперболыи последующим сдвигом полученной кривой вдоль координатных осей.

Другим примером функции в экономике служат функции спроса и предложения для соотношения спроса и цен. Известно, что для большинства благ действует зависимость: чем выше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Здесь возможны различные типы зависимости и, следовательно, различные формы кривых.

Производственные функции

Производственная функция – это экономико-математическая функция, связывающая переменные величины затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства) с величинами (объемами) выпускаемой продукции.

Аналитическая запись в производственной функции означает, что если ресурс затрачивается или используется в объемеединиц, то продукция выпускается в объемеединиц. Законв данном случае, являясь характеристикой производственной системы, отображает независимую переменную «ресурс» в зависимую переменную «выпуск». Однако следует заметить, что такая трактовка производственной функции имеет смысл только в микроэкономической теории, где подпонимается максимально возможный объем выпуска продукции, при затрачиваемом ресурсе вединиц. В макроэкономической теории такая модель не совсем корректна.

В микро экономике производственная функция чаще всего записывается в виде степенной функции , где- величина затрачиваемого ресурса (например, затрачиваемого времени),- объем выпускаемой продукции ( например, количество обработанной информации). Числаиназываются параметрами производственной функции. Графиком однофакторной производственной функции служит кривая

Интерпретация полученной кривой отражает фундаментальное положение экономической теории, которое называется законом убывающей эффективности. На графике хорошо видно, что с ростом величины затрачиваемого ресурса объем выпуска продукции растет, однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема выпускаемой продукции.