Сложная функция.

Пусть переменная у является функцией аргумента u(y=f(u)), аuв свою очередь является функцией аргумента х (u=φ(х)), все значения которой содержатся в области определения функцииf(u). Тогда у=f[φ(х)] называетсясложной функцией или функцией от функции.

Например: y = sin x² , y = ln

Сложная функция является элементарной функцией, если она задается формулой, составленной из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических и трансцендентных операций.

Обратная функция.

Рассмотрим некоторую функцию у = f(х), которая по законуfкаждому хХ ставит в соответствие уУ. Решим обратную задачу. Пусть функцияy=f(x) монотонна. Возьмём теперь какое-то значение у₀У. Тогда найдется в области Х такое значение х₀при котором функция станет равной у₀=f(x₀). Для того чтобы по известному значению у отыскать х нам потребуется законg, в соответствии с которым, мы получим новую функцию х =g(у). Эта функция называетсяобратнойдля функцииf(х).

Если перейти к привычному обозначению зависимой и независимой переменных, то есть у = g(х), то графически это выразится перестановкой одной оси координат на место другой. Для осуществления этой операции необходимо повернуть плоскость хоу на 180⁰вокруг биссектрисы первого координатного угла. Таким образом, график функции у =g(х) получится как зеркальное отображение графика функции у =f(х) относительно биссектрисы первого координатного угла.

Например, функции у =а^хи у =log_axвзаимно-обратные функции. Графики этих функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла.

Четные и нечётные функции.

Область определения функции называется симметричной, если для любого х из области определения функции существует ( -х ) тоже принад-лежащий этой области.

Функция у = f(х) называетсячетной, если она имеет симметричную область определения и для всех х из этой области выполняется равенство

f(-х) = f(х)

Функция у = f(х) называетсянечетной, если она имеет симметричную область определения и для всех х из этой области выполняется равенство

f(-х) = - f(х)

Графики четных функции симметричны относительно оси ординат, гра-фики нечетных функций симметричны относительно начала координат.

Например: функции у = х², y = x⁴ - четные ( рис 1.1 ), а функции у = х³, у = х - нечетные ( рис 1.2 ).

Периодические функции.

Функция у = f(х) называетсяпериодической, если существует такое число Т ≠ 0, что вместе с любым х из области определения функции точки (х + кТ) тоже принадлежат этой области и при этом выполняется неравенство

f(х) = f(х + кТ ). Число Т называется периодом функции.

Например у = sin x периодическая функция с периодом Т = 2π. (рис 1.9 ).

Ограниченные функции.

Функция у = f(х) называетсяограниченной сверхув некоторой области значений аргумента, если существует такое число М, что для всех х из этой областиf(х) ≤ М.

Функция у = f(х) называетсяограниченной снизув некоторой области, если существует такое числоN, что для всех х из этой областиf(х) ≥N.

Функция называется ограниченной, если она ограничена снизу и сверху.

Например: функция у = ограничена снизу числом 0 (рис. 1.3 )

функция у = 2 –х²ограничена сверху числом 2

функция у = sinxограниченная │sinx│≤ 1 (рис. 1.9 ).