14. Метод исследования рассуждений посредством таблично построенной логики высказывания

Тождественно-истинная (общезначимая) формула (з-н логики) - формула, принимающая значение «истина» при любом наборе значений входящих в нее переменных.

Тождественно-ложная формула (противоречие) - формула, принимающая значение «ложь» при любом наборе значений входящих в нее переменных.

Формула, принимающая значение «истина»/«ложь» хотя бы при нек. наборах значений переменных, называется выполнимой/опровержимой.

Логика высказываний, построенная табличным способом, дает эффективную процедуру для выявления з-нов логики, а также метод проверки правильности рассуждений.

Правильное рассуждение – рассуждение, между посылками и заключением кот. имеет место отношение лог. следования - из посылок А следует заключение В, если импликация (), имеющая антецедентом (если… то) конъюнкцию (&) формул, соответствующих посылкам, а консеквентом (то…) — формулу, соответствующую заключению, является тождественно-истинной.

Пусть дано рассуждение: «Если Иванов является участником этого преступления (p), то () он знал потерпевшего (q). Иванов не знал потерпевшего (q), но (&) знал его жену (r). Потерпевший знал Иванова (s). Следовательно (), Иванов является участником этого преступления (p)».

Для определения правильности рассуждения требуется:

1. Обозначить различными символами различные прост. высказывания p, q, r, s

2. Перевести на язык логики высказываний посылки и заключение. Переводом посылок являются формулы р  q, q & r, s, а переводом заключения — формула р

3. Формулы, являющиеся переводом посылок, последовательно соединить знаком конъюнкции (&):

((p  q) & (q & r )) & s

4. К полученной формуле присоединить справа знаком импликации () формулу, являющуюся переводом заключения (p):

((p  q) & (q & r )) & s  p

5. Для полученной формулы построить таблицу истинности

((p		q)	&(	(q	&	r)	)&	s		p
и	и	и	л	л	л	и	л	и	и	и
и	и	и	л	л	л	и	л	л	и	и
и	и	и	л	л	л	л	л	и	и	и
и	и	и	л	л	л	л	л	л	и	и
и	л	л	л	и	и	и	л	и	и	и
и	л	л	л	и	и	и	л	л	и	и
и	л	л	л	и	л	л	л	и	и	и
и	л	л	л	и	л	л	л	л	и	и
л	и	и	л	л	л	и	л	и	и	л
л	и	и	л	л	л	и	л	л	и	л
л	и	и	л	л	л	л	л	и	и	л
л	и	и	л	л	л	л	л	л	и	л
л	и	л	и	и	и	и	и	и	л	л
л	и	л	и	и	и	и	л	л	и	л
л	и	л	л	и	л	л	л	и	и	л
л	и	л	л	и	л	л	л	л	и	л

Эта формула является выполнимой и опровержимой.

Если формула, являющаяся переводом рассуждения на язык символов, оказывается тождественно-истинной, то можно сделать вывод о том, что рассуждение правильное.

Если тождественно-ложной, то рассуждение неправильное.

Если формула является выполнимой и опровержимой, то нет оснований считать рассуждение правильным. Необходимо продолжить анализ рассуждения, но уже ср-вами более богатого раздела логики — ср-вами логики предикатов.

Если формула содержит много переменных, то в нек. случаях можно не строить таблицу, а путем особых «сокращающих» рассуждений установить, является ли она:

1. Тождественно-истинной

2. Тождественно-ложной

3. Выполнимой и опровержимой