8. Отношения между суждениями.

Основными видами отношений между суждениями по логическим формам являются отношения: совместимости по истинности, совместимости по ложности, логического следования, логической эквивалентности, подчинения, контрадикторности, контрарности, субконтрарности и логической независимости.

Отношение логической совместимости по истинности имеет место между суждениями А и В, если и только если логические формы этих суждений являются истинными. Если такие суждения не существуют, то между исходными суждениями имеет место отношение логической несовместимости по истинности.

Отношение логической совместимости по ложности имеет место между суждениями А и В, если и только если существуют суждения этих же логических форм, которые оба являются ложными. Если таковые не существуют, то суждения А и В находятся в отношении логической несовместимости по ложности.

Отношение логического следования имеет место между суждениями А и В (факт наличия этого отношения обозначается так: А |= В или А ⇒ В), если и только если не существуют суждения А' и В' тех же логических форм, что А' истинно, а В' ложно.

Отношение логической эквивалентности имеет место между суждениями А и В, если и только если А |= В и В |= А. Оно обозначается так: А ⇔ В. Если они следуют друг из друга.

Суждения А и В находятся в отношении подчинения, если и только если А |= В и В |≠ А. Знак “|≠” означает: “не следует”. Суждение А называется в этом случае подчиняющим, а В — подчиненным.

Отношение противоречия (контрадикторности) имеет место между суждениями, которые несовместимы по истинности и несовместимы по ложности.

Контрарными являются суждения, совместимые по ложности, но несовместимые по истинности.

Субконтрарными являются суждения, которые совместимы по истинности, но несовместимы по ложности.

Суждения являются логически независимыми, если и только если все они совместимы по истинности и ложности и каждое из них не находится в отношении логического следования к другим из этих суждений.

Отношения между атрибутивными суждениями с одними и теми же терминами изображаются посредством схемы, называемой логическим квадратом:

субконтрарные

9. Отрицание суждений.

Отрицание суждения — это операция, заключающаяся в таком преобразовании его логического содержания, в результате которого получают суждение, находящееся в отношении контрадикторности к исходному.

Пусть кто-то утверждает: “Все студенты нашей группы — отличники”. А кто-то не соглашается с этим и отрицает выдвинутое суждение: “Неверно, что все студенты нашей группы —отличники”. Что же верно? Какое суждение (без внешнего отрицания) является отрицанием суждения “Все студенты нашей группы — отличники”? Отрицанием является суждение “Некоторые студенты нашей группы не являются отличниками”, т.е. отрицанием общеутвердительного суждения (А) является частноотрицательное (О).

При отрицании атрибутивного суждения меняются его качество и количество. Отрицая общее суждение, получаем частное, и , наоборот, отрицая частное, получаем общее.

При отрицании суждений об отношениях их качество и количество, так же как и при отрицании атрибутивных суждений, меняются на противоположные.

Результатом отрицания (неопределённо) конъюнктивного суждения является дизъюнктивное суждение, в котором составляющие суждения являются отрицаниями составляющих суждений исходного конъюнктивного суждения. Предположим, что отрицается суждение “Все юристы изучают логику, и все философы изучают логику”. Результатом отрицания является суждение “Некоторые юристы не изучают логику или некоторые философы не изучают логику”.

Таким образом, отрицая суждение формы А ∧ В, получаем суждение формы  A∨ В. Иначе:

 (А ∧ В) ⇔ ( А ˅ В ).

Последовательно-конъюнктивное суждение отрицается по следующей схеме:

 (A⊤ B) ⇔  A∨ B ∨ (A ⊥ B ) ∨ (B ⊤ A).

Одновременно-конъюнктивное суждение отрицается так:

 (A ⊥ B) ⇔ (A⊤ B) ∨ (B ⊤ A) ∨  A ∨  B.

Результатом отрицания (нестрого) дизъюнктивного суждения является конъюнктивное суждение, в котором составляющие суждения являются отрицаниями составляющих суждений дизъюнктивного суждения. Результатом отрицания суждения “Идет дождь или идет снег” является суждение “Нет дождя, и нет снега”.

Отрицая суждение формы А ∨ В, получаем суждение формы  A ∧ В.

Иначе:  (А ∨ В) ⇔ ( A ∧ В).

Строго-дизъюнктивные суждения отрицаются в соответствии со следующими схемами:

 (А ⊻ В) ⇔ (А ∧ В) ∨ ( A ∧ В);

⊻₃ (А,В,C) ⇔ (A ∧ B ∧ C) ∨ ( ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∨ C) ∨ ( A ∧ B ∧ C) ∨

∨ ( A ∧ В ∧ C); и т.д.

Результатом отрицания импликативного суждения является конъюнктивное суждение, в котором одним из составляющих суждений является антецедент исходного суждения, а вторым — отрицание консеквента исходного суждения. Отрицая суждение “Если Иванов имеет высшее образование, то он знает какой-нибудь иностранный язык”, получим конъюнктивное суждение “Иванов имеет высшее образование и не знает ни одного иностранного языка”, т.е., отрицая суждение формы А ⊃ В, получаем суждение формы А ∧ В. Иначе:  (А ⊃ В) ⇔ (А ∧ В).

Условное суждение отрицается по следующей схеме:

 (А → В) ⇔ ◊(А∧В)

. Здесь → — знак условного союза “если..., то...”. Например, отрицанием суждения “Если человек закаляется, то он здоров” является суждение “Возможно, что человек закаляется, но не является здоровым”.

Модальные суждения отрицаются по следующим схемам:

□ А ⇔ ◊ A;

◊ A ⇔ □ А;

 ∇ А ⇔ □ А∨□ A.