§9. Повышение эффективности поиска посредством учета дополнительной информации о свойствах минимизируемой функции.

Рассмотрим следующую задачу одномерной унимодальной условной оптимизации: найти минимум одномерной унимодальной функции Φ(x), определенной и дифференцируемой в замкнутой области допустимых значений D=[a,b],

Φ(x)=Φ(x*). (1)

Всякая априорная информация о свойствах минимизируемой функции Ф(x) может быть использована для повышения эффективности решения задачи (1).

Положим, что имеется следующая априорная информация о минимизируемой функции: Ф(x) является липшецевой функцией, т.е. принадлежит классу функций, которые на нтервале [a,b] удовлетворяют условию Липшица с константой Липшица К

|Ф(x₁)-Ф(x₂)|≤К|x₁-x₂|, x₁,x₂є[a,b].

Покажем, как можно использовать данную априорную информация для сокращения текущего интервала неопределенности без проведения дополнительных испытаний.

Пусть после проведения r итераций каким-либо методом сокращения текущего интервала неопределенности имеет место ситуация:

, ,.

Обозначим и проведем через точкипрямыес тангенсами угла наклона к осих, равными (-К) и К, соответственно (рисунок 1).

Проведем, кроме того, через точку прямую, параллельную осидо пересечения с прямымии обозначим абсциссы точек пересечения.

Утверждение 1. В сделанных предположениях, точки могут быть использованы в качестве границ интервала неопределенности. Другими словами, в сделанных предположениях, точкаминимума функцииФ(x) не может лежать вне интервала ●

Найдем величины .

Прямая имеет уравнение, где константаопределяется из условия прохождения этой прямой через точку

.

Таким образом, . В точке номер 4 имеет место равенство,

,

из которого вытекает выражение

.

Аналогично для точки номер 5 имеем

.

Рисунок 1 - Сужение интервала неопределенности за счет априорной информации о липшицевости минимизируемой функции. , .

35