Первый этап

1. Итерация №1. r=1 ТИН₁==[a,b]=[0,13]:

.

2. Итерация №2. r=2, ТИН₂==[5,13]=:

.

3. Итерация №3. r=3, ТИН₃==[8,13]= :

.

4. Итерация №4. r=4, ТИН₄==[10,13]=:

.

5. Итерация №5. r=5, ТИН₅==[11,13]=:

.

Второй этап

6. Итерация №6. r=6, ТИН₆=ТИН₅=[11,13]

.

Ответ: ТИН=[11, 12]●

Входные термины:

• задача условной оптимизации;

• одномерная унимодальная функция;

• метод последовательного поиска;

• прямой метод поиска;

• метод сокращения текущего интервала неопределенности;

• алгоритм Фибоначчи.

Выходные термины:

• алгоритм золотого сечения.

§4. Метод сокращения текущего интервала неопределенности. Алгоритм золотого сечения.

Рассмотрим следующую задачу одномерной условной унимодальной оптимизации: с заданной точностью найти минимум одномерной унимодальной функции Φ(x), определенной в замкнутой области допустимых значений D=[a,b],

Φ(x)=Φ(x*)

Золотое сечение и его свойства

Рассмотрим интервал [a,b] (рисунок 1). Говорят, что точка c выполняет золотое сечение интервала [a,b], если

, (1)

где - решение квадратного уравнения

. (2)

Рисунок 1 - К определению золотого сечения отрезка

Отметим, что из определения золотого сечения следует, что

.

Из определения золотого сечения также следует, что . Действительно,

.

Введем в рассмотрении точку , симметричную точкеотносительно середины отрезка. Легко видеть, что координата этой точки равна

.

Алгоритм золотого сечения.

Схема алгоритма золотого сечения имеет следующий вид.

1. Выполняем присваивания r=1, a¹=a, b¹=b, ТИН₁=[a¹,b¹].

2. Вычисляем величины (рисунок 2)

, . (3)

Рисунок 2 - К определению величин

3. Вычисляем значения величин .

4. Если , то выполняем присваиванияa^r+1=a^r, b^r+1=,ТИН_r+1=[a^r+1,b^r+1]. Иначе - выполняем присваивания a^r+1=, b^r+1=b^r, ТИН_r+1=[a^r+1,b^r+1].

5. Если |ТИН_r+1|≤ε_x,, то заканчиваем вычисления. Иначе - выполняем присваивание r=r+1 и переходим на п. 2●

Алгоритм золотого сечения относится к классу прямых алгоритмов последовательного поиска.

Некоторые свойства алгоритм золотого сечения.

Утверждение 1. Точки расположены симметрично относительно концов текущего интервала неопределенности (рисунок 2).

Действительно, из (3) следует, что точка отстоит от точкина величину ; точка отстоит от точки на ту же величину●

Утверждение 2. Для любого алгоритм золотого сечения обладает следующим свойством: одна из точексовпадает с одной из точек(рисунок 3).

Рисунок 3 - К утверждению 2

Доказательство. Пусть на r-й итерации - ситуацияб на рисунке 3. В соответствии с алгоритмом золотого сечения причем, очевидно, . Для того, чтобы доказать справедливость утверждения достаточно показать, что верно отношение

. (4)

Из соотношений (3) следует, что

.

Аналогично имеем .

Разделив первый из этих результатов на второй, получим

. (5)

Из уравнения (2) следует, что . Отсюда и из (5) следует справедливость (4).

Аналогично проводится доказательство для случая - ситуацияа на рисунке 3.●

Указанное свойство алгоритма золотого сечения позволяет на каждой итерации (кроме первой) производить испытания только в одной точке.

Из схемы алгоритма золотого сечения имеем

Утверждение 3. В результате одной итерации алгоритма золотого сечения длина текущего интервала неопределенности сокращается в τ раз●

Поэтому количество итераций N, необходимых для нахождения минимума функции с точностью ε_x, находится из условия

.

Из утверждения 4.5.3 и результатов предыдущего параграфа следует, что при достаточно больших N алгоритм Фибоначчи практически идентичен алгоритму золотого сечения.

Входные термины:

• задача условной оптимизации;

• одномерная унимодальная функция;

• метод последовательного поиска;

• прямой метод поиска;

• метод сокращения текущего интервала неопределенности;

• алгоритм равномерного поиска;

• алгоритм равномерного дихотомического поиска;

• алгоритм Фибоначчи;

• алгоритм золотого сечения.

Выходные термины: