Этап 2.

3. Шаг 4. Из таблицы 3 следует, что существует два равноценных (приводящих к значению функции Беллмана, равному 16) оптимальных управления . По формуле находим соответствующие значения переменной состояния :

;

.

4. Шаг 5. Из таблицы 2 следует, что для существует два равноценных (приводящих к значению функции Беллмана, равному 16) управления. Аналогично, из таблицы 2 следует, что длясуществует одно оптимальное управление. По формуле находим соответствующие значения переменной состояния :

;

;

.

5. Шаг 6. Из таблицы 1 следует, что для существует одно оптимальное управление. Аналогично, из таблицы 2 следует, что длясуществует одно оптимальное управление. По формуле находим соответствующие значения переменной состояния :

;

.

Полученные оптимальные управления и соответствующие оптимальные фазовые траекториииллюстрирует рисунок 3●

Рисунок 3 - К примеру 1. Оптимальные управления и соответствующие оптимальные фазовые траектории

Входные термины:

• задача оптимального управления;

• задача нелинейного программирования;

• задача многомерной условной оптимизации;

• критерий оптимальности управления;

• вектор фазовых координат динамической системы;

• фазовая траектория динамической системы;

• вектор варьируемых параметров;

• критерий оптимальности;

• множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Выходные термины:

§8. Приближенное решение задач оптимального управления путем сведения к задаче нелинейного программирования

Рассмотрим задачу оптимального управления

_. (1)

(2)

Обратим внимание на то, что так же, как в предыдущем параграфе, для обозначения фазового вектора использована маленькая букваx, а для обозначения вектора управления – маленькая букваu.

Метод решения задачи оптимального управления (1), (2) путем сведения этой задачи к задаче нелинейного программирования рассматривался в главе 1 (на одном частном примере). Изложим общую схему этого метода.

Покроем интервал равномерной или неравномерной сеткойс шагом(рисунок 1).

Рисунок 1 - Временная сетка на интервале

Систему ОДУ (1) заменим ее конечно-разностным аналогом

, (3)

а функционал (2) заменим его приближенным значением, вычисленным по формуле прямоугольников

, (4)

где есть-матрица.

Дискретная задача оптимального управления (3), (4) представляет собой задачу нелинейного программирования

(5)

где, в отличие от рассматриваемой ранее постановки задачи оптимизации, используется не вектор варьируемых параметров, а матрица варьируемых параметров. Очевидно, что легко перейти отматрицы варьируемых параметровU к привычному для нас вектору варьируемых параметров

.

Пусть тем или иным способом заданы значения элементов матрицы. Тогда для вычисления соответствующего значения критерия оптимальностинеобходимо выполнить следующие действия:

• при управлениях по формуле (3) последовательно вычисляем значения компонент векторадля;

• с найденными векторами ,и управлениямипо формуле (5) вычисляем значение критерия оптимальности.

Задача нелинейного программирования (5) может быть решена рассмотренными ранее методами условной оптимизации. Очевидно, что можно использовать более точные, чем (3), (4) аппроксимации уравнения (1) и функционала (2).

Повторим упоминавшийся выше пример из главы 1, используя введенные выше обозначения.

Пример 1. Рассмотрим двумерную задачу оптимального управления с одномернымвектором управления

(6)

,

, (7)

где - заданные скалярные константы, а- заданная скалярная функция.

Систему ОДУ (6) заменим ее конечно-разностным аналогом

где ,а функционал (7) заменим его приближенным значением, вычисленным по формуле прямоугольников

.

где есть-вектор (поскольку- скалярная функция).

Таким образом, задача оптимального управления (6), (7) сведена к N-мерной задаче условной оптимизации

,

где множество допустимых значений вектора варьируемых параметров

●

Изложенный метод создает впечатление тривиальности решения задач оптимального управления. Действительно, есть теоремы о том, что решение дискретной задачи (3), (4) сколь угодно точно (при ) аппроксимирует решение исходной задачи (1), (2). Есть теоремы о сходимости методов оптимизации, с помощью которых может быть найден минимум (4). Однако всегда остаются открытыми вопросы: можно ли данноеN считать достаточно большим?; можно ли ограничиться данным числом итераций при решении задачи (4)?. Т.е. необходим тщательный содержательный контроль результатов. Иначе легко получить решения, сколь угодно далекие от действительно оптимальных решений. В целом, данный метод (впрочем, как и любой другой) может быть рекомендован только в комбинации с другими методами.

39