§4. Приближенное решение задачи оптимального управления методом вариаций в фазовом пространстве. Метод локальных вариаций

Метод вариаций в фазовом пространстве разработан под руководством Н.Н. Моисеева в ВЦ АН СССР. Имеется несколько вариантов метода. Наиболее развитым является метод локальных вариаций Ф.Л. Черноусько.

Рассмотрим задачу оптимального управления

(1)

(2)

Обратим внимание на то, что в постановке задачи присутствуют кроме ограничений на вектор управления также ограничения на вектор фазовых координат.

Пусть - некоторая траектория динамической системы (1), удовлетворяющая краевым условиями фазовым ограничениям. Покроем интервал временисеткой с несовпадающими узламии рассмотрим последовательность точек, которую также будем называть траекторий системы (1).

Элементарной операцией называется решение задачи (1), (2) для интервала , т.е. решение следующей задачи

(3)

(4)

Обозначим «цену» элементарной операции . Т.е.- это значение критерия качества управленияприоптимальном (в смысле минимума функционала (4)) переводе системы (1) из состояния в состояние.

В связи с малостью интервала решать задачу оптимального управления (3), (4) не обязательно очень точно. Это обстоятельство позволяет во многих случаях достаточно просто получить цену элементарной операции.

Во введенных обозначениях функционал (2) на траектории равен

. (5)

Локальной вариацией траектории (в фазовом пространстве) называется траектория, отличающаяся от данной траектории только значениемX в точке . Обычно рассматриваются локальные вариации, в которых точкасмещается только вдоль координатных направлений (рисунок 1):. Здесь- компонента векторас номером,-k-й орт в n-мерном пространстве, - шаг по соответствующей компоненте фазового вектора.

Рисунок 1 - К определению локальной вариации в фазовом пространстве (n=2)

Отметим, что локальная вариация траектории в точкеприводит к изменению в сумме (5) только двух слагаемых -и.

Cхема метода локальных вариаций

1. Из каких либо соображений задаем начальное приближение к оптимальной траектории , удовлетворяющее краевым условиями ограничениям. Покрываем интервал сеткой с узлами. Счетчику числа итераций r присваиваем значение 0.

2. Последовательно для на интервале выполняем элементарную операцию и определяем ее «цену» .

3. Для каждого последовательно для каждоговыполняем следующие действия:

1. выполняем локальную вариацию ;

2. если полученная в результате новая точка является допустимой (т.е.), то переходим к следующему пункту; иначе - переходим к п.3. 4;

3. на интервалах ,выполняем элементарные операции и определяем их «цены»,; если данная локальная вариация была успешной, т.е.

+<+,

то полагаем

=,

=

и переходим к следующему пункту;

1. выполняем локальную вариацию ;

2. если полученная в результате новая точка является допустимой (т.е.), то переходим к следующему пункту; иначе - полагаемпереходим к п.3. 1.

3. выполняем действия, указанные в п. 3. 3.

4. Проверяем выполнение условия окончания итераций (см. ниже). Если это условие выполнено, то в качестве приближения к оптимальной траектории принимаем текущую траекторию , а в качестве приближения коптимальному управлению - управления, найденные при выполнении элементарных операций, соответствующих траектории . Иначе полагаеми переходим к п. 2●

В качестве условия окончания итераций используется равенство нулю количества удачных локальных вариаций после данной итерации.

Действия, указанные в пункте 3 приведенной схемы метода локальных вариаций, будем называть основным циклом метода локальных вариаций. Легко видеть, что временная сложность основного цикла равна .

В изложенном виде метод локальных вариаций обладает рядом серьезных недостатков. Назовем основные из этих недостатков:

• существование тупиковых ситуаций - во множестве локальных вариаций не оказывается удачной не потому, что данная траектория оптимальна, а потому, что исследуются не все возможные вариации траектории, а только чрезвычайно узкое множество соседних с данной;

• медленная сходимость;

• трудность построения элементарной операции.

Указанные недостатки приводят к тому, что в изложенном виде метод локальных вариаций используется редко. В вычислительной практике используются различные модификации метода локальных вариаций - метод дробных шагов, метод бегущей волны, метод трубки и др.

Входные термины:

• задача оптимального управления;

• критерий качества управления;

• задача линейного программирования.

Выходные термины:

• невозмущенное управление;

• функциональная производная в смысле Фреше;

• полная окрестность невозмущенного управления.