ТЕРВЕР alex_sasay

ymin , ymax – соответственно минимальное и максимальное значение случайной величины Y;

ymini , ymaxi – соответственно минимальное и максимальное значение случайной величины Y на i-ом интервале монотонности.

49Закон распределения суммы случайных величин. Композиция законов распределения.

Одна из важнейших для практики частной задачи, а именно – нахождение закона распределения суммы двух случайных величин.

Пусть имеется система СВ (X,Y) с плотностью распределения f(x,y). Рассмотрим сумму СВ X и Y Z=X+Y и найдем закон распределения случайной величины Z. Для этого построим линию на плоскости ХОУ линию Z=X+Y. Она делит плоскость на две части Z>X+Y и Z<X+Y. Согласно определению функции распределения:

Дифференцируем это выражение по переменной Z, входящей в верхний предел внутреннего интеграла, получим

(13.1)

Это – общая формула для определения плотности распределения суммы двух случайных величин. Т.к. задача симметрична, то :

. (13.2)

Особое практическое значение имеет случай, когда складываемые СВ (X,Y)

независимы. Тогда говорят о композиции законов распределения.

Для независимых случайных величин X и Y

f(x, y) = fх(x)fу(y) Þ (12.5) и (12.6) Þ Þ

и .

Для обозначения композиции законов применяют символическую запись:

.

Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся только параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости.

КОМПОЗИЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ

Рассмотрим две независимые с.в. Х и У, подчиненные нормальным законам:

и

Требуется найти композицию этих законов, т.е. найти закон распределения величины Z=X+Y.

Применяем общую формулу для композиции законов распределения:

. (13.3)

Раскрываем скобки в показателе степени подынтегральной функции и приводим подобные члены, получаем

, (13.4)

где

Используя интеграл Эйлера-Пуассона: , получаем

Подставляем значения А, В, С в эту формулу и после преобразований, получаем:

т.е. математическому ожиданию случайной величины X.

Таким образом, математическое ожидание неотрицательной целочисленной случайной величины равно первой производной ее производящей функции φ(z)

при z=1.

Возьмем вторую производную функции φ(z):

Полагая в ней z=1, получим

Первая сумма является вторым начальным моментом α2 случайной величины X, а вторая – ее математическое ожидание. Тогда:

,

т.е. второй начальный момент случайной величины равен сумме второй производной от производящей функции при z=1 плюс ее математическое ожидание.

Аналогично, берем третью производную:

и полагая в ней z=1, получаем:

И так далее, что позволяет выразить начальные моменты более высокого порядка.

51Характеристические функции.

До сих пор мы задавали случайные величины законом распределения. Характеристическая функция - ещё один способ представления случайных величин.

Пусть X - случайная величина. Её характеристической функцией w(t) назовём математическое ожидание случайной величины eitX:

w(t)=MeitX,

где под комплексной случайной величиной eitX мы понимаем комплексное число eit X=cos(tX)+isin(tX), а

;

независимая переменная t имеет размерность X-1.

Характеристическая функция - преобразование Фурье-Стилтьеса функции распределения:

.

В непрерывном случае w(t) - преобразование Фурье плотности вероятности:

Если w(t) абсолютно интегрируема, то обратное преобразование Фурье позволяет восстановить плотность f(x) по характеристической функции:

.

В дискретном случае:

.

Особо отметим дискретные случайные величины с целочисленными значениями, например, при xk=k:

В частности,

Характеристическую функцию определяют также и для n-мерной случайной величины (X1, X2, , ¼ , Xn):

w(t1, t2, , ¼ , tn)=M(expi(t1X1+t2X2+¼+tnXn)).