Термех

1) Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел с геометрической точки зрения незави­симо от приложенных сил. Система координат, неизменно связанная с телом отсчета, называется системой отсчета. При естественном способе задания движения дается траектория, т. е. линия, по которой движется точка. На этой траектории выбирается некоторая точка , принимаемая за начало от­счета. При векторном способе задания движения точки положение точки   определя­ется величиной и направлением радиуса-вектора , проведенного из неподвиж­ного центра   в данную точку (рис. 2.2). При движении точки ее радиус-вектор   изменяется по величине и направлению. При координатном способе задания движения положение точки по отношению к выбранной системе отсчета определяется при помощи прямоугольной системы декартовых координат (рис. 2.3). При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать координаты , ,   как функции времени.

2) . При векторном способе задания движения точки положение точки   определя­ется величиной и направлением радиуса-вектора , проведенного из неподвиж­ного центра   в данную точку (рис. 2.2). При движении точки ее радиус-вектор   изменяется по величине и направлению. V=dr/dt  

3) При координатном способе задания движения положение точки по отношению к выбранной системе отсчета определяется при помощи прямоугольной системы декартовых координат (рис. 2.3). При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать.

- Это направляющие углы.

а_х=х(с двумя точками)

а_у=у(с двумя точками)

а_z=z(с двумя точками)

4) Виор

5) Траектория точки — это пространственная мера движения (вооб­ражаемый след движения точки)1. Измеряют длину и кривизну траектории и определяют ее ориентацию в пространстве. Дуговая координата — измеренное вдоль траектории расстояние от начала отсчета до материальной точки, взятое со знаком плюс, если точка смещена относительно начала отсчета в положительном направлении траектории, и со знаком минус — в противном случае.

Радиус кривизны l в точке М равен производной дуговой координаты по углу смежности.

6) Естественные оси (касательная τ, главная нормаль n, бинормаль b) – это оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся точке. Их направление определяется траекторией движения.

Трехгранник Френэ.

Когда М движется по траектории, то Френэ сопровождает ее.

7)

8)

• = ds / dt = 

a =  + a_n

a = ( ² + a_n² )

 = d / dt = d²s/dt² или  =  = 

a_n = v² /  

9)

10)Тело является твердым, если расстояние между его любыми двумя точками не могут быть изменены.Поступательным называется движение, при котором прямая, проведенная в твердом теле остается паралльельной первоначальному положению.Теорема:При поступательном движении твердого тела все его точки движутся по конгруэнтным кривым и в любой момент времени имеют одинаковые ускорения и скорость.Конгруэнтными называются фигуры, которые совмещаются при наложении.

11)

12)

13) r – вектор постоянной длины

Лемма:Производная по времени от вектора постоянной длины равна векторному произведению двух векторов: угловой скорости этого вектора и самого вектора.

14) сложное движение — когда материальная точка движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта.

В инерциальной и неинерциальной системе отсчета.

15) абсолютное движение — это движение точки/тела в базовой СО.относительное движение — это движение точки/тела относительно подвижной системы отсчёта. переносное движение — это движение второй СО относительно первой.

16) Теорема Кориолиса гласит, что при сложном движении абсолютное ускорение материальной точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений(поворотного).

17)Кориолисово ускорение обращаетсяв нуль, когда: 1) переносное движение - поступательное, т.е. омега переносное равно нулю; 2) в те моменты времени, когда в относительном движении точка останавливается, например. при изменении направления относительного движения.Правило Жуковского: Кориолисово ускорение можно получить, спроецировав вектор радиальной скорости на плоскость, перпендикулярную вектору омега переносное, увеличив полученную проекцию радиальной скорости в 2*(омега переносное) раз и повернув ее на 90 градусов в направлении переносного вращения.

18)

19)Плоским (плоскопараллельным) назыв. такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.Любое сечение твердого тела плоскостью скольжения называется плоской фигурой. При плоском движении твердого тела его плоские фигуры скользят в соотв. Плоскостям скольжения. Теорема:Точка твердого тела, лежащая на одном перпендикуляре к плоскости скольжения движется по конгруэнтным траекториям с одинаковой скоростью и ускорением.

20)

Х и У плоскости скольжения.

Угол Фи зависит от положения точек А и В.Но если за время дельта t угол Фи изменится на дельта t, то на дельта t повернется любая прямая на плоской фигуре.

Угловая скоростью плоской фигуры равна производной по времени от ее угла поворота. В то время как угол Фи зависит от положения А и В на плоской фигуре, угловая скорость от положения их точек не зависит и характеризует всю плоскую фигуру.Угловое ускорение:

21)

22)

Замечание:Теорема – следствие расстояний между точками твердого тела.

23)

Мгновенный центр вращения, является пунктом в теле, подвергающемся плоскому движению, у которого есть нулевая скорость в особый момент времени.

24)

26)

27)

28) Имеем твердое тело, участвующее одновременно в двух поступательных движениях, одно из которых является перенос­ным со скоростью , а другое -относительным со скоростью .По теореме сложения скоростей для точки имеемОт сложения двух поступательных движений твер­дого тела получается поступатель­ное движение со скоростью, равной векторной сумме скоростей составляющих поступательных дви­жений.

29)

  , где Если векторы мгновенных угловых скоростей слагаемых движений пересекаются, то они складываются по правилу параллелограмма.Мгновенное результирующее движение – есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через т.

О.

30)

Рассмотрим случай сложения вращения вокруг двух пересекающихся осей. Чтобы определить вектор , вычислим скорость какой-нибудь точки М тела, радиус-вектор которой . В относительном движении вокруг оси Оа точка М получает скорость , в переносном же движении вокруг оси Ов точка получает скорость .Следовательно, абсолютная скорость точки М равнаОтсюда заключаем, что

31)

углами Эйлера: ψ - угол прецессии,  θ  - угол нутации и  φ  - угол собственного вращения. ψ = ψ(t),θ = θ(t),  φ = φ(t).

32)

33) Скорость любой точки тела при его сферическом движении находится как вращательная вокруг мгновенной оси вращения с угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составляющих вращений:

где ,радиус-вектор точки тела, проведенный из неподвижного центра. Мгновенная ось вращения – геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.

углами Эйлера: ψ - угол прецессии,  θ  - угол нутации и  φ  - угол собственного вращения. ψ = ψ(t),θ = θ(t),  φ = φ(t).

34) При сферическом движении тела положение мгновенной оси вращения со временем изменяется, следовательно, изменяется не только модуль, но и направление вектора угловой скорости тела. ФФАУп

Формлрслгсгслсдсдсдсд

Формула Ривальса: J₀ – ускорение начала подвижной системы координат. Dw/dt – угловое ускорение

Jjjjjjjj

35) Сферическим движением твердого тела называют такое движение, при котором одна точка тела остается все время неподвижной. углами Эйлера: ψ - угол прецессии,  θ  - угол нутации и  φ  - угол собственного вращения. 

36) если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью  вокруг мгновенной оси, параллельной данной. Для определения угловой скорости абсолютного вращения тела вокруг оси Сс^/ и положения самой оси, т.е. точки С, воспользуемся равенством

.Из свойств пропорций получим

Подставляя и , получим:

37)

  , где Если векторы мгновенных угловых скоростей слагаемых движений пересекаются, то они складываются по правилу параллелограмма.Мгновенное результирующее движение – есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через т. О.

1)1)Материальная точка находится в равновесии, если она покоится или движется равномерно и прямолинейно.

2)Совокупность сил, приложенных к твердом телу, называется системой сил и обозначается {F_k}_n.

3)Система сил называется уравновешенной или эквивалентной нулю, если тело под действием этой системы находится в равновесии.Записывается так: {F_k}_n.S0.

4)Каждая из систем {F_k}_{n. и} {Q_k}_r называется уравновешивающей по отношению к другой, если совокупность этих систем образует уравновешенную силу.

5)Две системы сил {F_k}_{n. и} {Q_k}_{r называются эквивалентными, если каждая из них может быть уравновешена одной и той же третьей системой} {F_k}_{n. и} {Q_k}_{m.Записывается} так: {F_k}_{n. S}{Q_k}_m.

6)Силовым многоугольником системы {F_k}_n. называется ломаная, звеньями которой являются векторы сил данной системы.

2)Моментом силы F относительно центра О называется M₀(F), направленная перпендикулярно плоскости моментного треугольника в ту сторону, откуда вращение тела под действием силы F направлено против хода часовой стрелки, и равная произведению силы и плеча. l M₀(F)l=F*h

2)Момент силы F относительно центра О равен векторному произведению двух векторов: радиус-вектора точки приложения силы относительно центра О и самой силы F.

Свойства:1) Величина и направление M₀(F) не изменятся, если точку приложения силы перенести вдоль линии ее действия.

2)Момент силы относительно центра равен нулю, если линия действия силы проходит через центр момента(в этом случае плечо силы равно нулю).

3)Физический смысл вектора M₀(F) заключается в том, что этот вектор определяет направление оси, вокруг которой будет ускоренно вращаться тело с закрепленной точкой О под действие силы F.

3)Моментом силы F относительно оси Z называется скалярная величина M_z(F), равная произведению F_p и h_p, взятому со знаком плюс, если поворот тела под действием силы с положительного конца оси Z кажется происходящим против хода часовой стрелки или со знаком минус в противном случае.

Свойства:1) M_z(F) не изменится, если точку приложения силы перенести вдоль линии ее действия.

2) Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось Z(в этом случае h_p=0), когда линия действия силы параллельна оси( в этом случае F_p=0)

4)Теорема:Проекция момента силы относительно произвольной точки оси на ее направление равна моменту этой силы относительно этой оси. [M₀(F)]_z= M_z(F). Z после кв. скобки означает проекцию на ось Z вектора, стоящего в этих скобках.

5)

6)Главным вектором системы {F_k}_n называется вектор R₀, равный сумме векторов всех сил системы и приложенный в точке О.

Главным моментом системы {F_k}_n относительно центра О называется вектор Мо, равный сумме моментов всех сил системы относительно данного центра.

_{Главный момент системы зависит} от выбора центра.

7)Главный момент системы относительно нового центра В равен главному моменту этой системы относительно старого центра А плюс момент главного вектора системы, приложенного в старом центре, относительно нового центра. М_В=М_А+М_В(R_A), если R_A=0, то . М_В=М_А

Если главный вектор системы равен нулю, то главный момент этой системы не зависит от выбора центра.

8)Аксиома равновесия: Для того чтобы произвольная система сил {F_k}_n была уравновешенной, необходимо и достаточно,чтобы главный вектор этой системы и ее главный момент относительно произвольного центра О были равны нулю.

Следствие 1:Если тело находится в равновесии под действием двух сил , то эти силы равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Следствие 2:Теорема о трех силах.Если тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, то эти силы расположены в одной плоскости и линии их действия пересекаются в одной точке.

9)Сходящаяся система сил. Система сил {F_k}_n называется сходящейся, если линии действия всех сил пересекаются в одной точке. Для того, чтобы сходящаяся система сил была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы был равен нулю. Условие равновесия системы параллельных сил в пространстве:

Условие равновесия системы параллельных сил:

Уравнение равновесия плоской произвольной системы сил:

10)Силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Следствие:Силы, с которыми взаимодействуют точки твердого тела, образуют уравновешенную систему сил.

11)Равновесие деформируемого тела не нарушится при его отвердевании, а силы взаимодействия с окружающими телами останутся прежними.

Следствие: Условия равновесия твердого тела должны обязательно выполняться и при равновесии деформируемого тела.

12)Аксиома освобождения от связей: Равновесие связанного тела не нарушится, если устранить связи, заменив их реакциями.

Тело называется связанным, если оно не может быть переведено из занимаемого положения в любое соседнее.

Тела, препятствующие перемещению связанного тела, называются связами.

Силы, с которыми связи действуют на связанное тело, называются реакциями связей или просто реакциями.

13) Тело называется связанным, если оно не может быть переведено из занимаемого положения в любое соседнее.

Тела, препятствующие перемещению связанного тела, называются связами.

Силы, с которыми связи действуют на связанное тело, называются реакциями связей или просто реакциями.

Различают два типа связей:1)Связи, направление реакций которых определяется только геометрией соприкасающихся тел, а не направлением активных сил.(гладкие поверхности нити, гибкие тросы, невесомые стержни и тд) Гладкими называют такие поверхности, направление реакций которых совпадает с внешней нормалью к поверхности. 2)Связи, направления реакций которых существенно зависят от направления внешних сил.(цилиндрические шарниры, радиальные подшипники, жесткая заделка).Жесткая заделка - вид связи, полностью запрещающей движение тела (пример – балка, один конец которой защемлён)

14)

15)Теорема эквивалентности: Для того, чтобы две системы были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра были соответственно равны.

Следствие 1:Не изменяя действие системы сил на твердое тело, можно переносить точки приложения сил вдоль линий их действия.

Следствие 2:Действие произвольной системы сил на твердое тело не изменится при добавлении к ней или изъятия из нее уравновешенной системы сил.

16)Теория пар. Совокупность двух антипараллельных сил,равных по величине называется парой сил или просто парой. Плоскость, в которой расположены силы Р и Q, называются плоскостью пары. h – плечо пары. М – момент пары.

Эквивалентность пар: Две пары (P₁;Q₁) и (P₂;Q₂) эквивалентны в том случае, если моменты этих пар М₁ и М₂ равны между собой. Следсвтие: Действие пары на твердое тело не изменится, если:1)как угодно переместить пару в ее плоскости.2)сдвинуть плоскость пары параллельно себе.3)изменить плечо пары и величину ее силы, чтобы момент пары остался прежним.

Сложение пар:Действие системы пар {(Pk;Qk)}_n на твердое тело может быть заменено одной равнодействующей парой (Р;Q), момент которой равен сумме моментов всех пар, образующих исходную систему.

Равновесие пар:Для того, чтобы система пар {(Pk;Qk)}_n была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех пар этой системы была равна нулю.

17)Приведение сил к центру:Действие произвольной системы сил {F_k}_n , на твердое тело может быть заменено одной результирующей силой, равной главному вектору системы и приложенной в произвольной точке А, и одной результирующей парой, момент которой равен главному моменту системы относительно точки А.

18)Теорема Вариньона:Момент равнодействующей относительно какой-либо оси равен сумме моментов составляющих сил относительно этой же оси.Эта теорема упрощает задачу вычисления моментов сил – особенно в случае пространственной системы сил.

Пример: Сила F имеет проекции X,Y,Z.Вычислить момент силы F относительно осей и найти момент этой силы относительно начала координат.

19)Правило параллельного переноса силы:Действие силы на твердое тело не нарушится, если ее перенести параллельно самой себе из точки А в В, добавив при этом пару, момент которой равен моменту этой силы, приложенной в старом центре А, относительно нового центра В.