ДЗ_3_ЭЛТЕХ
.pdf
Домашнее задание №3 по электротехнике.
Лохтуров Андрей, ИУ6-33, Вариант №10
начальное условие I L = 5mA
Найдем операторное представление выходного напряжения
Чтобы найти операторное представление выходного напряжения, заменим все элементы цепи их изображениями по преобразованию Лапласа.
Z L |
= pL |
Zc |
= |
1 |
E= |
U m ω |
|
|
|
pC |
|
|
|||
|
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
p |
+ω |
Напряжения на резисторе R2 и конденсаторе равны, поэтому мы можем заменить их одним операторным сопротивлением
|
|
|
1 |
|
1 |
−1 |
1 |
−1 |
R2 pC +1 |
−1 |
|
R2 |
Z |
|
=( |
|
+ |
|
) =( |
|
+ pC ) =( |
|
) |
= |
|
вых |
R2 |
Z c |
R2 |
R2 |
R2 pC +1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для упрощения анализа перестроим схему
Для анализа используем метод контурных токов.
Составим схему уравнений
{I 11( Z вых+ Z L)−I 22 Z L=E
I 22 ( R1 + Z L)− I 11 Z L= iL
Решая систему, получим
I 11= |
E R1 + E Z L+i L Z L |
|
R1 Z L+ R1 Zвых+ Z L Zвых |
||
|
||
Тогда выходное напряжение |
||
|
E R1 + E Z L+i L Z L |
|
U ( p)= I 11 Zвых=Z вых R1 Z L+ R1 Z вых+ Z L Z вых |
||
Подставим значения и преобразуем.
U ( p )= |
|
|
R2 |
E R1 + E p L+i L p L |
|
|
|
= R2 |
|
|
|
E R1 + E p L+ i p L2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||
R2 |
pC +1 |
|
|
R1 R2 |
|
p L R2 |
R1 p L( R2 p C +1)+ R1 R2 + p L R2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 p L+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 pC +1 |
R2 pC +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U m ω |
( R1 + p L)+i p L |
2 |
|
|
|
||||
|
= R2 |
|
E ( R1 + p L)+i p L2 |
|
|
= R2 |
|
|
|
|
p2 +ω2 |
|
|
= |
|
|||||||||||||||
|
R |
2 |
+ p L ( R1 + R2 )+ R1 R2 |
|
R1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 R2 L C p |
|
|
|
|
R2 L C p |
|
+ p L( R1+ R2)+ R1 R2 |
||||||||||||||||||
=R2 |
|
|
U m ω( R1 + p L)+i p L2 ( p2 +ω2 ) |
|
= |
|
|
|
R2 (U m ω( R1 + p L)+i p L2 ( p2 +ω2 )) |
|||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
+ω |
2 |
|
|
2 |
+ p L( R1 |
+ R2 )+ R1 R2) |
||||||||||
|
( p |
+ω |
)( R1 R2 L C p |
+ p L( R1 + R2 )+ R1 R2) ( p |
|
)( R1 R2 L C p |
||||||||||||||||||||||||
U оп( p)= |
|
|
R2 (U m ω ( R1+ p L)+i p L2 ( p2 +ω2)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
( p2+ ω2 )( R1 R2 LC p2 + p L( R1+ R2)+ R1 R2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Перейдем к оригиналам
Выделим отдельные функции числителя и знаменателя операторной записи напряжения.
M( p)= R2 (U m ω( R1 + p L)+ i p L2( p2+ ω2 ))
N( p)=( p2+ ω2 )( R1 R2 LC p2 + p L( R1 + R2)+ R1 R2 )
Найдем корни характеристического уравнения
N ( p)=0
[ p1, p2=± j ω
R1 R2 L C p2 + p L( R1+ R2)+ R1 R2 =0
Решим второе уравнение, как квадратное относительно p.
R1 R2 LC p2 + p L( R1 + R2)+ R1 R2=0 |
|
|
||||||
|
|
|
− L( R1 + R2 )±√ |
|
|
|
|
|
p3, p4= |
L2 ( R1+ R2 )2−4 R12 |
R22 LC |
|
|||||
|
2 R1 R2 L C |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
[ |
|
|
|
p1, p2=± j ω |
|
|
||
|
|
|
− L( R1 + R2)± √ |
|
||||
p3, |
p4= |
L2 ( R1 + R2 )2−4 R12 R22 L C |
||||||
|
2 R1 R2 L C |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
Зная корни, перейдем к оригиналу напряжения.
U вых= |
M (0) |
+ |
M ( p1) |
|
e p1 t + |
M ( p2) |
e p2 t + |
M ( p3 ) |
e p3 t + |
|
N (0) |
p1 N '( p1 ) |
p2 N '( p2) |
p3 N '( p3) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
M ( p4) |
e p 4 t |
|
p4 N '( p4 ) |
||
|
N '( p)=2 p( R1 R2 L C p2 + p L( R1 + R2 )+ R1 R2)+( p2+ ω2)( 2 R1 R2 LC p + L( R1+ R2))
Подставив численные значения величин, получим:
расчеты сделаны в Wolfram 9 и далее использовался для расчетов
Построим график полученной функции
График U(t) — временная диаграмма исследуемого переходного процесса.
Определим максимальное значение напряжения (первый пик графика):
U = 4.0963 В
t = 0.00014346 с
Построим временную диаграмму с помощью Multisim 12
Построим временную диаграмму экспериментально, и отметим на ней максимальное значение напряжения.
U= 4.1095 B
t = 0.0001437599 c
Полученный и расчетный результаты очень близки по значениям. Полученные графики практически совпадают, что дает возможность сделать вывод о правильности вычислений.
Вывод
Переходные процессы можно с высокой точностью рассчитывать с помощью преобразований Лапласа.
В данной работе, наблюдается колебательный процесс с искажениями, вызванными наличием тока в катушке индуктивности.