Метод конечных разностей
Функции, которые нах. в рез. решения ур-ний Лапласа и Пуассона, а так же диффузных и волн. ур-ний, имеет непрерывный хар-р, при чем их сложно моделировать как анал., так и числ. методом. Осн. практическим методом таких дифф. ур-ний является их конечно-разностная аппроксимация, которая представляет собой замену системы с распределенными параметрами набором дискретных элементов таким образом, что хар-тики изначально заданного поля остаются неизменными.
Процесс дискретизации оказывается возможным при условии, что расстояние между соседними дискретами достаточно мало. При моделировании поля на ЭВМ использования метода конечно-разностной аппроксимации позволяет заменить дифф. ур-ния в частных производных, опис. физ. систему большим числом связных между собой алгебраических выражений. При решении задач, приведенных к этому виду, требуют выполнение только осн. мат. операций.
Целью решения таких задач является отыскание некоторой непрерывной функции, характеризующей протекание физ. процесса в ИТО. Поиск решения начинается с представления
искомой функции в виде таблицы, которая задает значение функции в некоторых точках области ее определения. Предполагается, что между указанными точками области искомая ф-ция изм. по известному, например, линейному закону. При построении дискретной модели непрерывной величины F(x, y) поступают следующим образом: например, область определения F(x, y) делят на конечное число подобластей, называемых дискретами. В центре каждой дискреты фикс. точки, называемые узлами. Значение F(x, y) в каждом узле считается неизвестной переменной, которую нужно найти. В дискретах определяется среднее значение производных F(x, y).
Продемонстрируем метод конечно-разностной аппроксимации на примере определения двумерной ф-ции F(x, y) в заданной области P.
Метод решения задач с помощью кон. разностей наз. методом кон. разностей, при котором решение системы дифф. ур-ний зам. решением системы линейных алгебраических уравнений с кол-вом неизвестных, равных кол-ву дискрет разбиения в области разбиения функции.
При заданных на границах области P значения f(), данная система ур-ний может иметь лишь единственное решение, которое и определит дискретную модель непрерывной величины F в области P.
Рассмотрим построение разностной схемы для решения ур-ния Пуассона следующего
вида:
