Физика лекции (понятные)

12

2m0

В соответствии с видом Ψ-функции для падающей, отражённой и прошедшей волн имеем:

Видно, что R + D = 1 , что и должно быть по определению. Коэффициенты R и D не зависят от направления движения частицы: слева направо или наоборот.

В классическом случае при E > U0 должно быть R = 0.

Эффект надбарьерного отражения ( R > O ) является чисто квантовым и объясняется наличием у частицы волновых свойств.

величины комплексно-сопряжённые. Таким образом, отражение будет полным, а D = 0.

13

Но волновая функция при x > 0 не обращается в нуль, т.е. микрочастицы могут проникать в области, которые для макроскопических

происходит на самом пороге. Частица может проникнуть в область II , а затем выйти из неё ( аналогично полному внутреннему отражению в оптике).

Прохождение частицы через потенциальный барьер.

Рассмотрим одномерный прямоугольный потенциальный барьер

Частица движется слева направо. Слева от барьера имеем падающую и отраженную волну, а за барьером только прошедшую волну.

14

3 x A3eik1x B3e ik1x

Из решения этой системы уравнений получают, применив некоторые упрощающие допущения, выражение для коэффициента прозрачности D прямоугольного барьера

Для потенциального барьера произвольной формы

уравнения U( x ) = E .

Туннельный эффект

Прохождение частицы через потенциальный барьер, высота которого превышает энергию частицы, получило название туннельного эффекта (частица, проходя под барьером, как бы движется в туннеле). При прохождении через барьер полная энергия частицы Е не меняется.

Туннельный эффект представляет собой чисто квантовое явление. Этим эффектом объясняются многие физические явления; например,

холодная эмиссия электронов из металла (автоэмиссия), альфа-распад, спонтанное деление ядер и др.

На левом рисунке представлен потенциальный барьер треугольной формы, имеющий место на границе металл-вакуум в явлении холодной эмиссии электронов из металла. Электрон в металле находится в

потенциальной яме глубиной U0 . Если вблизи поверхности металла

имеется электрическое поле напряжённостью Е , способствующее выходу электронов из металла, то потенциальная энергия электрона вблизи поверхности металла может быть представлена в виде

15

U x U0 e E x

При туннелировании электронов через этот барьер происходит их выход из металла даже при низких температурах.

На правом рисунке представлен потенциальный барьер α-частицы в поле ядра. На больших расстояниях r между α-частицей и ядром действуют силы кулоновского отталкивания и потенциальная энергия частицы

При других значениях энергии существует отличная от нуля вероятность отражения частицы от барьера.

Пролёт частицы над потенциальной ямой конечной глубины ( E >

U0 )

Частица пролетает над потенциальной ямой конечной глубины U0 и ширины а слева направо вдоль оси ох.

16

Решая систему уравнений Шрёдингера для трёх областей, получаем выражение для коэффициента прохождения D , характеризующего вероятность прохождения частицы над ямой:

Коэффициент прохождения D зависит от соотношения между энергией частицы и глубиной потенциальной ямы и в общем случае оказывается меньше единицы (частица может отразится от потенциальной ямы даже если E > U0 ). Данное явление, полностью отсутствующее в

классической физике, объясняется наличием у частицы волновых свойств.

Частица не испытывает отражения на границах ямы ( D = 1 ) только если sin = 0 . Это условие выполняется при значениях энергии частицы

Рассмотренная модель поведения частицы вблизи симметричной прямоугольной потенциальной ямы конечной глубины хорошо качественно описывает движение электрона вблизи атома. В частности, проведённый анализ даёт квантово-механическое объяснение эффекта Рамзауэра, где наблюдалась аномальная прозрачность атомов инертных газов для пучка электронов при определённых значениях кинетической энергии (K = E – U0).

(λБ – длина волны де Бройля электрона внутри ямы ). Это условие определяет гашение за счёт интерференции волн, отражённых от двух границ ямы аналогично просветлению оптики при интерференции двух электромагнитных волн от двух сторон просветляющей тонкой плёнки.

КОШКА ШРЁДИНГЕРА

Кошка ( или кот ) Шрёдингера – герой кажущегося парадоксальным мысленного эксперимента Эрвина Шрёдингера, которым он хотел продемонстрировать неполноту квантовой механики при переходе от субатомных систем к макроскопическим.

17

Кошка помещена в закрытый ящик, где на неё направлен ствол ружья. В ящике находится также микрочастица, при попадании которой в курок ружья, ружьё стреляет и кошка погибает.

Если частица находится в первом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ψ1 , в котором вероятность обнаружить частицу в области вблизи курка равна нулю, то кошка в ящике жива.

Пусть в состоянии Ψ2 вероятность нахождения частицы вблизи курка равна единице. В этом случае кошка мертва.

Согласно принципу суперпозиции

И непонятно жива или мертва кошка?

Системы, в которых формально объединены как классические так и квантовые объекты не всегда корректны для исследования.

Лекция 7

Операторы физических величин

Ранее было сказано, что состояние квантовой частицы определяется не координатами и импульсом, а заданием Ψ-функции, вид которой зависит от конкретного потенциального поля ( 1-ый постулат квантовой механики ). Волновая функция, описывающая сама по себе распределение по координатам, определяет также распределение по импульсам и другим динамическим характеристикам частицы, таким как кинетическая энергия, момент импульса и др.

Таким образом Ψ-функция полностью определяет не только «положение» частицы, но и все её динамические характеристики.

Для получения информации о физических величинах, связанных с движущейся частицей, в квантовой механике разработан специальный

математический аппарат, в котором используют операторы физических величин и результаты их действия на волновую функцию.

18

Оператором называют символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией. Примером оператора могут служить умножение на х , или на какую-либо

самосопряжённый (эрмитов) оператор. Самосопряжённым называют оператор, который совпадает со своим сопряжённым оператором. В этом

Представление физических величин операторами в квантовой механике

19

Второй постулат квантовой механики – каждой физической величине соответствует определённый линейный эрмитов оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике.

1. Оператор координаты

2. Оператор импульса

3. Оператор квадрата импульса

4. Оператор момента импульса

В сферической системе координат (r, , )

В cферической системе координат ( r, θ, φ )