
- •Isbn 978-985-519-056-2 © бгату, 2009 Предисловие
- •Учебная программа по учебной дисциплине
- •Модуль 4 Аналитическая геометрия
- •Модуль 8 Функции нескольких переменных
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
- •М одуль 1. Линейная алгебра
- •§ 1. Определители
- •С войства определителей.
- •§ 2. Матрицы
- •§ 3. Основные операции над матрицами
- •§ 4. Транспонированная матрица
- •§ 5. Обратная матрица
- •§ 6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы
- •Контрольный тест
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 1. Теорема Кронекера-Капелли
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений
- •Контрольный тест
- •Модуль 3. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы. Операции над ними.
- •Сложение векторов.
- •Произведение вектора на число.
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Длина вектора.
- •§ 3. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Контрольный тест
- •М одуль 4.
- •§ 1. Прямая на плоскости.
- •3 . Уравнение прямой в отрезках:
- •6 . Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом:
- •§ 2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •§ 3. Прямые в решениях экономических задач.
- •Контрольный тест
- •Модуль 5. Кривые второго порядка
- •§ 1. Окружность
- •§ 2.Эллипс
- •§ 3. Гипербола
- •§ 4. Парабола
- •Контрольный тест
- •М одуль 6. ФункциЯ одной переменной. Непрерывность функции одной переменной.
- •§ 1. Определение функции и способы её задания.
- •§ 2. Использование элементарных функций в экономике
- •§ 3. Предел числовой последовательности. Предел функции.
- •Односторонние пределы
- •§ 4. Теоремы о пределах.
- •З амечательные пределы
- •§ 3. Непрерывность функции.
- •Контрольный тест
- •§ 1. Производная функции,
- •§ 2. Таблица производных.
- •§ 3. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •§ 4. Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределённостей.
- •§ 5. Признаки возрастания и убывания функций. Интервалы монотонности функций.
- •§ 6. Экстремум функции. Необходимый признак.
- •§ 7. Достаточные признаки экстремума функции.
- •§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •§ 9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •§ 10. Асимптоты графика функции.
- •§ 11. Общая схема исследования функции и построение её графика.
- •Контрольный тест
- •М одуль 8. Функции нескольких переменных
- •§ 1. Определение функции нескольких переменных
- •§ 2.Некоторые многомерные функции, используемые в экономике.
- •§ 3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§ 4. Экономический смысл частных производных
- •§ 5. Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Функция полезности
- •§ 8. Экстремум функции двух переменных
- •Контрольный тест
- •Краткий справочник
- •Простейшие формулы аналитической геометрии.
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Содержание
- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Издано в редакции авторов
- •220023, Г. Минск, пр. Независимости, 99, к. 2
С войства определителей.
1
.
Определитель не изменится, если строки
определителя заменить столбцами, а
столбцы — соответствующими строками.
2 . Общий множитель элементов любой строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя.
3 . Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.
4 . При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
5. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Пример 1.5.
Вычислите
определитель
.
.
§ 2. Матрицы
М
атрицей
называется прямоугольная
таблица, составленная из элементов
некоторого множества:
или
П ервый индекс обозначает номер строки, второй — номер столбца, в которых стоит выбранный элемент.
Матрица
имеет размерность
,
если у
неё
строк и
столбцов.
Для
обозначения матриц употребляются
символы:
,
,
,
,
,
,
и т.д.
К
вадратными
порядка
называются
матрицы,
у которых число строк равно числу
столбцов, т.е.
.
В частности, матрица порядка 1 отождествляется с её элементом, т.е. любое число — частный случай матрицы.
Г
лавную
диагональ
квадратной
матрицы составляют её
элементы
,
,…,
.
Диагональной
называется
квадратная матрица,
у которой
все недиагональные элементы равны нулю
(
при
).
Н
апример,
—
диагональная квадратная матрица
размерности 3 с элементами 1, 2, 3 по главной
диагонали.
Ступенчатой называется матрица:
,
где
.
Н
апример,
—
не ступенчатая,
— ступенчатая.
Е
диничной
называется
диагональная матрица,
все элементы которой равны единице;
единичная матрица
обозначается
или
,
где
— порядок матрицы.
,
,
.
Верхней (нижней) треугольной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже (выше) диагонали равны нулю.
— верхняя
треугольная матрица;
— нижняя
треугольная матрица.
Н
апример,
— верхняя треугольная матрица,
—
нижняя
треугольная матрица.
Н
уль-матрицей
(нулевой матрицей)
размерности
,
обозначаемой
,
называется
матрица,
все элементы которой равны нулю.
Равными,
называются
матрицы
и
,
если они
имеют одинаковые размерности, т.е.
,
и элементы этих матриц, занимающие одну
и ту
же позицию,
равны,
т.е.
.
Н
апример,
если
,
,
то
.
§ 3. Основные операции над матрицами
Сложение
матриц.
Суммой двух матриц
и
одной и той же размерности
называется матрица
той же размерности такая, что
.
И так, можно складывать только матрицы одной и той же размерности. При сложении матриц складываются соответствующие элементы.
Пример 1.6.
Найдите
сумму матриц
и
.
— нуль-матрица
размерности
.
Из определения суммы следует, что сложение матриц подчинено:
а)
коммутативному закону
;
б) ассоциативному закону
;
в)
— закон поглощения нуля.
У
множение
матрицы на число.
Произведением матрицы
на число
(или
на матрицу
)
называется матрица
,
где
,
т.е. при умножении матрицы на число надо
все элементы матрицы умножить на это
число.
Пример 1.7.
2
.
С войства операции умножения матрицы на число:
а)
(ассоциативность);
б)
(дистрибутивность
относительно сложения чисел);
в)
(дистрибутивность
относительно сложения матриц);
г)
.
Пример 1.8.
Найдите
,
где
,
.
.
Умножение
матриц.
Произведением матрицы
размерности
на матрицу
размерности
называется
матрица
размерности
такая, что
,
,
.
У
множать
матрицы
и
можно лишь в том случае, когда число
столбцов первого сомножителя
(число элементов в каждой строке матрицы
)
совпадает с
числом строк второго сомножителя
(число элементов в каждом столбце
).
В частности для квадратных матриц
одинакового порядка определены оба
произведения
и
,
и матрицы произведения являются матрицами
того же порядка
Пример
1.9. Пусть
,
.
Найдите произведения
и
(если это возможно).
.
П
роизведение
не существует, так как число столбцов
матрицы
не совпадает с числом строк матрицы
.
Пример
1.10. Пусть
,
.
Найдите произведения
и
(если это возможно).
.
.
И
з
приведенных выше
примеров
ясно, что в общем случае
.
Коммутирующими
называют матрицы
и
,
если для
них
выполнено условие
.
С войства операции умножения матриц:
а)
ассоциативность:
если
определено одно из произведений
или
,
то определено также и
второе
произведение,
и имеет место выше
приведённое равенство
;
б)
дистрибутивность:
если
— такая
матрица, что определено произведение
,
то определены
произведения
и
и верно равенство
(
и
— матрицы одинаковых размеров);
в)
дистрибутивность:
если
— такая
матрица, что определено произведение
,
то определены произведения
и
и верно равенство
(
и
— матрицы одинаковых размеров);
г)
.