§ 3. Непрерывность функции.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если
.
Данное определение требует выполнения следующих условий:
Функция определена в точке и некоторой её окрестности;
Пределы слева и справа существуют и равны между собой
;
.
Е сли в точке не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то эта точка называется точкой разрыва функции.
В
случае, когда
,
но эти пределы конечные, то точку
называют точкой
разрыва первого рода.
(См., например, рис.1 §3).
Е
сли
хотя бы один из пределов
или
не существует или равен бесконечности,
то
называется точкой разрыва второго рода.
В
еличина
называется скачком
функции
в точке разрыва
.
Если
функция непрерывна во всех точках
отрезка
,
то она называется непрерывной
на этом отрезке.
И з определения непрерывности функции и теорем о пределах следуют теоремы:
С умма конечного числа непрерывных функций в точке непрерывна в этой точке.
П роизведение конечного числа непрерывных функций в точке непрерывно в этой точке.
Частное двух непрерывных функций непрерывно в тех точках , в которых знаменатель отличен от нуля.
С ложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна в соответствующей точке.
Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ
1. Понятие функции, графика функции, области определения и значений функции.
2. Понятие четности, нечетности и периодичности функции.
3. Понятие возрастающей и убывающей функции.
4. Понятие сложной и обратной функции.
5. Элементарные функции и их свойства.
6. Функции в экономике (функция спроса, предложения и др.).
7. Понятие предела числовой последовательности.
8. Понятие предела функции в точке и в бесконечности.
9. Бесконечно большие и бесконечно малые функции и их свойства.
10. Первый и второй замечательные пределы.
11. Правила раскрытия неопределенностей.
12. Понятие непрерывности функции, классификация точек разрыва.
13. Свойства непрерывных функций.
14. Задача о непрерывном начислении процентов.
Контрольный тест
Областью определения функции
является промежуток:
a)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.
Предел функции
равен:
а) 0; б) 10; в) 5; г) другой ответ.
3.
Предел
функции
равен:
а)
;
б) 1;
в)
;
г) 0.
4.
Предел функции
равен:
а) ; б) 40; в) ; г) -40.
5.
Предел
функции
равен:
а) - ; б) ; в) 2; г) -1.
6.
Предел
функции
равен:
а) - ; б) 1; в) 0; г) -1.
7.
Предел
функции
равен:
а)
;
б) 1;
в)
;
г) -1.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача
6.1.
Найдите
область определения функции
.
Ответ:
.
Задача
6.2.
Вычислите
.
Ответ:
.
Задача
6.3.
Вычислите
.
Ответ:
.
Задача
6.4.
Вычислите
предел функции
.
Ответ:
.
Задача
6.5.
Вычислите
предел функции
.
Ответ:
.
3адача
6.6.
Вычислите
предел функции
.
Ответ: .
М ОДУЛЬ 7.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
