Контрольный тест
1.
Найдите
производную функции
:
а)
;
б)
;
в)
;
г) другой
ответ.
2.
Среди
приведенных функций укажите те,
производная которых равна
:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.
Найдите
производную функции
в точке
:
а)
8;
б)
;
в)
-8; г)
другой ответ.
4.
Найдите
производную функции
:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
5.
Найдите
производную функции
:
а)
;
б)
;
в)
;
г) другой
ответ.
6.
Найдите
производную функции
:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
7.
Функция
:
a)
убывает в интервале
и возрастает в интервале
;
б)
убывает в интервале
и возрастает в интервале
;
в)
убывает в интервале
и возрастает в интервале
;
г) убывает в интервале , не возрастает.
8.
Значение минимума функции
:
a)
;
б)
;
в)
; г) имеет бесконечно много решений.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача
7.1.
Найдите
производную функции
в точке
.
Ответ:
.
Задача
7.2.
Найдите
производную функции
.
Ответ:
.
Задача
7.3.
Найдите
производную функции
.
Ответ:
.
Задача
7.4.
Найдите
производную функции
.
Ответ:
.
Задача
7.5.
Найдите
производную функции
.
Ответ:
.
Задача
7.3.
Найдите
производную функции
.
Ответ:
.
Задача
7.4.
Найдите
в точке
производную функции
и дифференциал функции в этой точке.
Задача
7.5.
Найдите
производную функции
.
Задача
7.6.
Найдите
производную функции
.
Задача
7.7.
Найдите
производную функции
.
Задача
7.8.
Составьте
уравнения касательной и нормали к кривой
в точке с абсциссой
.
Задача
7.9.
Для производственной функции
определите
предельную эффективность ресурса при
.
Задача
7.10.
Для производственной функции
найдите
эластичность
при
.
Задача 7.11. Найдите темп роста объема выпуска для производственной функции при .
Задача
7.12.
Найдите
производную
функции
в точке
.
Задача
7.13.
Найдите
дифференциал функции
.
Задача
7.14.
Найдите
дифференциал функции
в точке
.
Задача
7.15.
Для
найдите
вторую производную
.
Задача
7.16.
Точка движется прямолинейно по закону
.
В какой момент времени ускорение равно
нулю?
Задача 7.17. Вычислите пределы, используя правило Лопиталя:
а)
;
б)
.
Задача
7.18.
Найдите
экстремумы функции
.
Задача
7.19.
Найдите
экстремумы функции
.
Задача
7.20.
С помощью производной первого порядка
найдите
интервалы монотонности и точки экстремума
функции
.
Задача
7.21.
Найдите
наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
Задача
7.22.
Найдите
наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
Задача
7.23.
Предприятие
выпускает некий товар в объёме,
превосходящем 1 экземпляр. Издержки
производства (в у.е.) зависят от объёма
выпущенного товара
и определяются формулой
.
Спрос (цена на товар) также зависит от
объёма
производства и определяется формулой
.
Найдите
объём
производства товара, при котором прибыль
будет максимальной.
М одуль 8. Функции нескольких переменных
§ 1. Определение функции нескольких переменных
Функция, определенная на некотором множестве -мерного векторного пространства, называется функцией аргументов:
,
г
де
—
координаты точки
данного
множества.
Переменная
величина
называется
функцией
двух переменных
величин
и
на множестве
,
если каждой паре значений
соответствует единственное значение
величины
.
С
имволически
функция двух переменных обозначается
так:
и т.д.
Переменные и называются независимыми переменными или аргументами функции, а множество — областью определения функции.
Н
апример,
—
функция
двух переменных.