§ 3. Частные производные функции нескольких переменных.

Пусть — функция двух переменных. Нададим независимой переменной приращение , оставляя при этом переменную неизменной. Тогда получит приращение

,

которое называется частным приращением по .

Аналогично, если независимой переменной нададим приращение , оставляя при этом неизменной переменную , то получит приращение

называемое частным приращением по .

Ч астной производной по от функции называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю.

Таким образом по определению,

.

Эта производная обозначается одним из символов

.

А налогично определяется частная производная от функции по переменной :

.

Она обозначается одним из символов

.

Пример 8.3. Найдите значения частных производных функции в точке .

С читая постоянной и дифференцируя , как функцию переменной , находим частную производную по :

.

Вычислим значение этой производной в точке : .

Считая постоянной и дифференцируя , как функцию , находим частную производную по :

.

Вычислим значение производной в точке :

.

§ 4. Экономический смысл частных производных

Р ассмотрим в качестве примера производственную функцию Кобба-Дугласа: , где — неотрицательные константы и ; а — объём фондов либо в стоимостном выражении, либо в натуральном количестве, скажем число станков; — объём трудовых ресурсов, например число рабочих; — выпуск продукции в стоимостном выражении.

В еличину естественно назвать средней производительностью труда – ведь это количество продукции (в стоимостном выражении), произведенное одним рабочим.

Величину естественно назвать средней фондоотдачей – ведь это количество продукции (в стоимостном выражении), приходящееся на один станок (на одну единицу фондов).

В еличину естественно назвать средней фондо-вооруженностью или просто фондовооруженностью — ведь это стоимость фондов, приходящаяся в среднем на единицу трудовых ресурсов, например на одного рабочего.

Зафиксируем текущее состояние предприятия, т.е. объём фондов и число рабочих L. Им соответствует выпуск продукции . Если нанять ещё одного рабочего, то приращение выпуска составит – . Это частное приращение и поэтому , а так как , то .

Вывод: Частная производная от производственной функции по объёму трудовых ресурсов (кратко: производная выпуска по труду) приблизительно равна добавочной стоимости продукции, произведенной ещё одним дополнительным рабочим. По этой причине эта частная производная называется предельной производительностью труда.

Если же увеличить фонды ещё на единицу — купить ещё один станок, то добавочная стоимость продукции, произведенной на нём, окажется приблизительно равной частной производной от производственной функции по объёму фондов (кратко: производной выпуска по фондам). Эта частная производная называется предельной фондоотдачей.

И предельная производительность труда, и предельная фондоотдача – это абсолютные величины. Но в экономике чрезвычайно удобно задавать такие вопросы: на сколько процентов изменится выпуск продукции, если число рабочих увеличится на 1%, или если фонды возрастут на 1% ? и т.д. Такие вопросы и ответы на них используют понятие «эластичность функции по аргументу» или «относительная производная».

В случае функции одной переменной эластичностью функции по аргументу называется величина

Для функции многих переменных обычная производная заме-

няется частной производной.

Продолжим рассмотрение производственной функции Кобба-Дугласа. Найдём эластичность выпуска продукции по труду

Подставляя найденную выше частную произ-

водную и выражение у через K, L, получим

Итак, параметр β имеет ясный экономический смысл – это эластичность выпуска по труду.

Аналогичный смысл имеет и параметр α – это эластичность выпуска по фондам, т.е .

Пример 8.4. Пусть производственная функция есть функция Кобба-Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на 3%, надо увеличить фонды на 6% или численность рабочих на 9%. В 1997 г. один работник за месяц производил продукции на 1 млн руб., а всего работников 1000. Основные фонды оценивались в 10 млрд руб. Написать производственную функцию и величину средней фондоотдачи.

В идим, что эластичность выпуска по труду β = 1/3, а по фондам α = 1/2, следовательно, функция Кобба-Дугласа имеет вид: Подставляя остальные данные, получим : , т.е. А = 1000. Окончательно: функция Кобба-Дугласа есть , а средняя фондоотдача равна