§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Всякая функция может принимать на отрезке наибольшее и наименьшее значения в критических точках, лежащих внутри отрезка или на его концах.

Пример 7.16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Н аходим критические точки данной функции.

.

;

;

;

;

Отрезку принадлежит только одна критическая точка . Вычисляем значения функции в этой точке и на концах отрезка:

;

;

.

С равнивая полученные значения, найдем, что есть наибольшее значение функции, а — наименьшее значение функции на отрезке .

§ 9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

К ривая, определяемая данной функцией, называется выпуклой вверх или просто выпуклой на интервале , если график расположен ниже любой каcательной, проведенной к графику функции в точках интервала .

К ривая называется выпуклой вниз или вогнутой на интервале , если график расположен выше любой касательной, проведённой к графику функции в точках интервала .

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба. В точках перегиба вторая производная обращается в нуль или не существует. На рисунке — точка перегиба.

Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба кривой, определяемой функцией находят все точки , где или не существует и исследуют знак второй производной в интервалах, расположенных между этими точками.

Точки перегиба будут в тех точках , где , при переходе через которые вторая производная изменяет знак.

§ 10. Асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты. Если существует число такое, что , то прямая является вертикальной асимптотой кривой .

Н аклонные асимптоты. Уравнение наклонных асимптот графика функции ищется в виде , где

.

Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая не имеет наклонных асимптот. Если ,то асимптота параллельна оси .

§ 11. Общая схема исследования функции и построение её графика.

С целью изучения процесса, описываемого заданной функцией, проводится её исследование по следующей схеме.

1 . Находится область определения функции, точки пересечения с осями координат, точки разрыва функции.

2 . Устанавливается чётность или нечётность функции, её периодичность.

3 . Находятся точки экстремума функции, вычисляются её экстремальные значения, находятся интервалы монотонности функции.

4 . Находятся точки перегиба графика функции, интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

5 . Находятся асимптоты функций.

6. На координатную плоскость наносятся все найденные характерные точки, и по результатам исследования строится график функции.

П ример 7.17. Исследуйте функцию и постройте её график.

1. Функция определена для всех , т.е. область определения .

В точке функция терпит разрыв второго рода, т.к.

, .

Если , то , значит, кривая проходит через начало координат.

2. , значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Очевидно, что данная функция и непериодическая.

3. .

при и .

	+			+		+

Поэтому функция возрастает в интервалах и , убывает в интервале . Точка является точкой максимума и .

4. 

.

при .

				+

Точка является точкой перегиба.

5. — вертикальная асимптота. Наклонные асимптоты ищем в виде .

.

.

С ледовательно, прямая является асимптотой графика функции.

6. По результатам исследования строим график функции.

Пример 7.18. Открытый чан имеет форму цилиндра. Объём чана равен . Каковы должны быть радиус основания и высота чана, чтобы его поверхность была наименьшей?

П лощадь поверхности открытого цилиндрического чана , где — радиус основания, — высота цилиндра. Объём цилиндра , откуда . Это значит, что .

Найдем значение радиуса , при котором функция достигает минимума:

, ,

,

,

,

Т ак как при , то функция достигает при минимума. .

ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

1. Определение производной.

2. Основные правила дифференцирования.

3. Производная сложной и неявной функции.

4. Основные формулы дифференцирования.

5. Производные высших порядков.

6. Экономический смысл производной.

7. Понятие дифференциала функции и его свойства.

8. Правило Лопиталя и его использование для раскрытия неопределенностей.

9. Признаки возрастания и убывания функции.

10. Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.

11. Выпуклость, вогнутость графика функции. Точка перегиба.

12. Асимптоты графика функции.