§ 2. Таблица производных.

Приведём в таблице производные как простых, так и сложных функций, которые подробнее рассмотрим в следующем параграфе.

	Простая функция	Сложная функция
1.	,	,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

§ 3. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.

Если функции , дифференцируемы, то

, где

,

Пример 7.4. Найдите производную функции .

В оспользуемся формулой 1 таблицы производных и правилами дифференцирования.

.

Пример 7.5. Найдите производную функции

.

П реобразуем функцию с помощью следующих правил:

Действия со степенями

Таким образом, имеем:

.

Воспользуемся формулой 1 таблицы производных и правилами дифференцирования.

.

Производная сложной функции.

Если , где , т.е. — сложная функция, то

или в других обозначениях .

Это правило легко распространить на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций.

Пример 7.6. Найдите производную функции .

В оспользуемся формулой 6 таблицы производных сложных функций:

.

Пример 7.7. Найдите производную функции

.

.

Производная обратной функции.

Если для функции существует обратная функция , имеющая производную , то справедлива формула

.

§ 4. Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределённостей.

Теорема. Пусть функции и на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и в точке одновременно обращаются в нуль или равны бесконечности. Тогда, если существует предел , то выполняется равенство

(7.1)

Правило применимо и в случае, когда .

Пример 7.8. Найдите предел .

.

П ример 7.9. Найдите предел .

.

Пример 7.10. Найдите предел .

.

П равило Лопиталя применяется и для раскрытия неопределенностей вида: ; ; ; ; .

Пример 7.11. Найдите предел .

.

Неопределенности вида ; ; можно раскрыть, предварительно вычислив предел от логарифма функции.

Пример 7.12. Найдите предел .

. Обозначим . Тогда .