§ 2. Использование элементарных функций в экономике

1. Простые проценты.

,

— начальная сумма,

— конечная (накопленная за лет) сумма,

— удельная процентная ставка,

— процентная ставка.

Пример 6.7. Начальная сумма вклада составила 5000 ден.ед. Сколько составит накопленная сумма через три года при процентной ставке 4%?

П о условию задачи , , , . Тогда (ден.ед.).

2 . Сложные проценты.

или ,

где — коэффициент сложного процента.

Пример 6.8. За период выполнения пятилетнего плана объём продукции должен возрасти на 85%. Каким должен быть средний темп роста?

П усть начальный объём продукции составлял единиц. Через 5 лет он должен составить единиц (по условию задачи). С другой стороны, по формуле сложных процентов . Следовательно, .

Тогда . Известно, что .

З начит для того, чтобы объём продукции за 5 лет вырос на 85%, средний темп роста должен составлять 13,1%.

3. Начисление процентов раз в году.

.

4. Периодический взнос.

В банк через определенное время (год) вносится постоянная сумма (периодический взнос) под сложные проценты при норме %. Через лет накопится сумма:

.

Пример 6.9. Какая сумма накопится через 10 лет, если ежегодный взнос составляет 3000 ден.ед., а ставка сложного процента 5% годовых?

П о условию задачи , , , , .

Т огда (ден.ед.).

5 . Функция спроса.

При определенных условиях спрос на некоторый товар есть функция цены. Эта так называемая функция спроса. Пусть — спрос на товар, — цена товара. Зависимость между спросом и ценой — функция спроса — выражается формулой

.

Пример 6.10. Функция спроса может иметь разный вид, например

а ) . В этом случае находим следующие соответствия:

цена — спрос ,

цена — спрос .

б) . В этом случае находим следующие соответствия:

цена — спрос ,

ц ена — спрос .

З ависимость между спросом и ценой можно поставить двояко:

1) как зависимость спроса от цены;

2) как зависимость цены от спроса.

В первом случае говорят о функции спроса, во втором о функции цен спроса; в этом случае функция есть , а независимая переменная есть .

6 . Суммарная выручка.

Если количество проданного товара умножить на его цену , получим суммарную выручку продавца или же суммарные расходы покупателя. Следовательно, суммарная выручка

.

Суммарная выручка есть функция спроса. Функцией суммарной выручки называется закономерность, определяющая зависимость между суммарной выручкой и количеством проданного товара.

П ример 6.11. Если функция цен спроса определяется посредством формулы то функция суммарной выручки имеет следующий вид: . Если , то ;

, то ;

, то .

7. Функция предложения.

При прочих равных условиях предложение какого-либо товара зависит от цены. Если через обозначить цену, а через — предложение, то эту зависимость можно выразить функцией

.

Это так называемая функция предложения.

И наоборот, каждому предложению соответствует определенная цена . Это можно выразить посредством зависимости

.

Это так называемая функция цен предложения.

8. Функция средних издержек.

Закономерность, определяющая зависимость между издержками производства определенного товара и объёмом производства, называется функцией издержек. Если через обозначить суммарные издержки производства единиц продукта, то функцию суммарных издержек можно выразить в виде

.

Функция называется функцией средних или удельных издержек.

Пример 6.12. Пусть зависимость между издержками производства данного продукта и количеством произведенных единиц этого продукта имеет вид: . Тогда если

, то ;

, то ;

, то .

Для данного случая функции средних издержек есть

.

Тогда если , то ;

, то ;

, то .

9. Распределение доходов. Итальянский экономист Парето сформулировал теорему о распределении доходов в капиталистическом обществе. Если через обозначить число лиц, имеющих доход, не меньше , то , где и — постоянные.

Закон Парето достаточно точно описывает распределение более высоких доходов; в то же время для низких доходов он не оправдывается.

Пример 6.13. Пусть в каком-либо капиталистическом обществе распределение доходов определяется уравнением .

Найдите:

а) число лиц, которые обладают доходом, превышающим 100000;

б) самый низкий доход среди 100 самых богатых лиц.

а ) Имеем: , откуда .

Таким образом, 63 человека имеют доход, превышающий 100000.

б) Имеем:

.

Таким образом, самый низкий доход среди 100 богатейших лиц сос тавляет 73700.