
- •Isbn 978-985-519-056-2 © бгату, 2009 Предисловие
- •Учебная программа по учебной дисциплине
- •Модуль 4 Аналитическая геометрия
- •Модуль 8 Функции нескольких переменных
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
- •М одуль 1. Линейная алгебра
- •§ 1. Определители
- •С войства определителей.
- •§ 2. Матрицы
- •§ 3. Основные операции над матрицами
- •§ 4. Транспонированная матрица
- •§ 5. Обратная матрица
- •§ 6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы
- •Контрольный тест
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 1. Теорема Кронекера-Капелли
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений
- •Контрольный тест
- •Модуль 3. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы. Операции над ними.
- •Сложение векторов.
- •Произведение вектора на число.
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Длина вектора.
- •§ 3. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Контрольный тест
- •М одуль 4.
- •§ 1. Прямая на плоскости.
- •3 . Уравнение прямой в отрезках:
- •6 . Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом:
- •§ 2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •§ 3. Прямые в решениях экономических задач.
- •Контрольный тест
- •Модуль 5. Кривые второго порядка
- •§ 1. Окружность
- •§ 2.Эллипс
- •§ 3. Гипербола
- •§ 4. Парабола
- •Контрольный тест
- •М одуль 6. ФункциЯ одной переменной. Непрерывность функции одной переменной.
- •§ 1. Определение функции и способы её задания.
- •§ 2. Использование элементарных функций в экономике
- •§ 3. Предел числовой последовательности. Предел функции.
- •Односторонние пределы
- •§ 4. Теоремы о пределах.
- •З амечательные пределы
- •§ 3. Непрерывность функции.
- •Контрольный тест
- •§ 1. Производная функции,
- •§ 2. Таблица производных.
- •§ 3. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •§ 4. Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределённостей.
- •§ 5. Признаки возрастания и убывания функций. Интервалы монотонности функций.
- •§ 6. Экстремум функции. Необходимый признак.
- •§ 7. Достаточные признаки экстремума функции.
- •§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •§ 9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •§ 10. Асимптоты графика функции.
- •§ 11. Общая схема исследования функции и построение её графика.
- •Контрольный тест
- •М одуль 8. Функции нескольких переменных
- •§ 1. Определение функции нескольких переменных
- •§ 2.Некоторые многомерные функции, используемые в экономике.
- •§ 3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§ 4. Экономический смысл частных производных
- •§ 5. Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Функция полезности
- •§ 8. Экстремум функции двух переменных
- •Контрольный тест
- •Краткий справочник
- •Простейшие формулы аналитической геометрии.
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Содержание
- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Издано в редакции авторов
- •220023, Г. Минск, пр. Независимости, 99, к. 2
Контрольный тест
На каком рисунке изображён вектор
:
a)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Два вектора называются коллинеарными, если:
a) они лежат в одной плоскости; б) они лежат в параллельных плоскостях; в) они лежат на параллельных прямых; г) они не лежат на параллельных прямых.
Укажите координату
вектора , изображённого на рисунке
a)
1; б) 2; в)
;
г) -1.
Какая формула задаёт длину вектора
:
a)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Найдите длину диагонали четырёхугольника
, если
,
,
,
:
a)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Составьте вектор
, если
,
.
a)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Скалярным произведением векторов и называется:
a)
число
,
где
и
—
длины векторов; б) число
,
где
и
—
длины векторов
;
в) вектор
;
г) число
,
где
и
—
длины векторов,
—
угол между векторами.
Найдите скалярное произведение векторов
и
, если
,
.
a) -12; б) 20; в) -10; г) 18.
Какими являются векторы
и
, если
,
,
,
:
a) ортогональными; б) коллинеарными; в) компланарными; г) равными.
Какие среди векторов
,
,
,
ортогональны:
a)
и
;
б)
и
;
в)
и
;
г)
и
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача
3.1. Найдите
координаты вектора
,
если
,
,
.
Ответ:
.
Задача
3.2. Фирма
продаёт изделия по ценам, которые
характеризуются вектором
а объёмы продаж по регионам определяются
вектором
.
Найдите
прибыль фирмы, если издержки на реализацию
составляют 1000 ден.ед.
Ответ: 9710.
Задача
3.3.
Определите
внутренний
угол при вершине
в треугольнике
с вершинами
,
,
.
Ответ: 90°.
М одуль 4.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Прямая на плоскости.
Различные виды уравнения прямой.
Теорема.
Каждая
прямая
на плоскости
определяется
линейным
уравнением
первой степени с двумя неизвестными.
Обратно: каждое линейное уравнение
первого порядка с двумя неизвестными
определяет некоторую прямую на плоскости.
Пример
4.1.
Постройте
прямую, заданную уравнением
.
Д
ля
построения прямой достаточно знать
координаты двух её произвольных точек.
Полагая в уравнении прямой, например,
,
получим
.
Имеем точку
.
Полагая
,
получим
.
Отсюда вторая точка
.
Результаты вычислений можно занести
в таблицу:
|
0 |
1 |
|
-4 |
-2 |
О сталось построить точки и провести через них прямую (см. рисунок).
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором:
,
(1)
г
де
—
нормальный вектор прямой,
—
координаты данной точки.
З
аметим,
что
—
нормальный
вектор прямой
(
перпендикулярен прямой).
2 . Общее уравнение прямой:
,
(2)
где
—
постоянные коэффициенты, причём
и
одновременно не обращаются в нуль
.
Частные случаи этого уравнения:
— прямая
проходит через начало координат;
— прямая
параллельна оси
;
— прямая
параллельна оси
;
— прямая
совпадает с осью
;
— прямая
совпадает с осью
.