Учебно_Технологический_Практикум_УТС.Б_4

Минимум найден. Он близок к нулю. Координаты минимума [0 1].

4.Для контроля правильности решения можно построить поверхность исследуемой функции.

Здесь, для наглядности, график повернут.

5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Для вычислений значений интегралов в MATLAB применяются функции семейства quad:

quad – вычисление определенного интеграла методом Симпсона quad8 - вычисление определенного интеграла методом Ньютона - Котеса dblquad –вычисление определенных двойных интегралов.

Синтаксис функций quad и quad8 одинаков. Общая форма: q=quad(‘Имя_функции’,a,b,TOL,TRACE,P1,P2,…)

Здесь:

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ “Имя_функции” – строка символов, содержащая допустимое имя функции пользователя или встроенной;

a - нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования.

P1,P2,… - параметры подынтегральной функции. НЕОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

TOL – вектор допустимых абсолютной и относительной ошибок интегрирования;

TRACE – ненулевой флаг наблюдения за процессом интегрирования в графическом окне.

q – значение интеграла.

ЗАМЕЧАНИЕ: Если подынтегральная функция задана параметрически, то параметры TOL и TRACE становятся обязательными. Значения этих параметров по умолчанию определяются пустыми масси-

вами – [ ],[ ].

Синтаксис функции dblquad

q=dblquad(‘Имя_функции’,InMin, InMax, OutMin, OutMax, TOL, METHOD)

Здесь:

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ “Имя_функции” – строка символов, содержащая допустимое имя функции пользователя или встроенной;

InMin, InMax - внутренний нижний и верхний пределы интегрирования; OutMin, OutMax – внешний нижний и верхний пределы интегрирования. НЕОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

TOL – вектор допустимых абсолютной и относительной ошибок интегрирования;

METHOD – строка символов, определяющая метод интегрирования. Допустимые значения – ‘quad’,’quad8’.

ПРИМЕР .

Требуется:

Вычислить определенный интеграл для параметрически заданной функции

f = ∫1 (p1x2 + p2 exp(x)sin(x))dx

−1

Значения параметров: p1=22, p2=-7. Точность вычислений – по умолчанию. Результаты интегрирования проконтролировать в графическом окне. Решение:

1.Пишем М-функцию подынтегрального выражения: function [f]=fun(x,P1,P2)

f=P1.*x.^2+P2.*exp(x).*sin(x);

2.Вычисляем интеграл:

3. Контроль интегрирования в графическом окне – пятый параметр = 1:

ПРИМЕР. Требуется:

Вычислить интеграл с переменным верхним пределом

y

f = ∫exp(−x) cos(x)dx

0

Точность вычислений – 1e-5. Результаты интегрирования проконтролировать в графическом окне.

Решение:

1.Для решения подобной задачи потребуется написать не одну, а две М- функции. Первая функция – функция подынтегрального выражения, а вторая – вычисления значения интеграла при различных значениях верхнего предела интегрирования.

Функция подынтегрального выражения %подынтегральное выражение function q=fint(x)

q=exp(-x).*cos(x);

Функция вычисления интеграла %вычисление интеграла function q=fy(y) q=quad(‘fint’,0,y,1.e-5);

2.Вывод результатов интегрирования в графическое окно

ЗАМЕЧАНИЕ: Совершенно аналогично можно выполнять интегрирование с переменными нижним и верхним пределами. Функция fy становиться функцией двух параметров – текущего верхнего и нижнего пределов.

6. ПОДБОР ПАРАМЕТРОВ И АППРОКСИМАЦИЯ ДАННЫХ

Аппроксимация данных – это задача поиска функциональной зависимости, которой удовлетворяют дискретные данные, полученные экспериментально.

Методов аппроксимации много. Здесь рассмотрим только один метод – метод подбора параметров путем решения переопределенной системы линейных уравнений. Напомним, что система является переопределенной, если число линейных уравнений превышает число неизвестных. Такие системы можно решать с помощью оператора «\»(см. ЛР по курсу УТП для САУ № 2).

Рассмотрим задачу о подборе параметров a, b некоторого физического закона

f = a * exp(−t) +b * t

по результатам измерения величины f в известные моменты времени

T=[t1,t2,…,tN].

Для нахождения параметров необходимо потребовать соответствие измерений физическому закону

f1 = a * exp(−t1 ) +b * t1 f2 = a * exp(−t2 ) +b * t2

fN = a * exp(−tN ) +b * tN

Система уравнений будет переопределенной при N > 2. Положим

Тогда решение можно найти по формуле

X = A \ F

Решение такой задачи в MATLAB состоит в написании функции физического закона и скрипта для подбора параметров и вывода результатов приближения данных и самих данных в контрольное графическое окно.

Пример решения задачи подбора параметров

Результаты измерения физической величины сведены в таблицу:

Для решения задачи были написаны:

1.функция function f=law(t,a,b), вычисляющая значения закона изменения физической величины в моменты времени t при заданных параметрах a и b;

2.скрипт FitData.m, в котором подбираются параметры закона и производится вывод результатов контрольное графическое окно.