ЭКЗАМЕН
.docx
Первообразная Определение. Первообразной для функции в интервале называется функция , производная которой равна , т.е. . Теорема: Если функция в интервале имеет первообразную , то любая другая первообразная отличается от данной на константу. |
Определение неопределенного интеграла и его свойства. Определение: Неопределенным интегралом для функции называют совокупность всех ее первообразных . Обозначается: . Свойства неопределенного интеграла:
|
Интегрирование по частям. Интегрирование по частям есть действие обратное дифференцированию произведения. Имеем: Проинтегрируем обе части равенства: отсюда получаем: Замечание: Если под знаком интеграла имеем дробь , числитель которой есть производная знаменателя, то интеграл от этой дроби равен логарифму натуральному от модуля знаменателя!!!
|
Интегрирование заменой переменной. Рассмотрим формулу: , где в следующем виде: , где обратная функция для функции . Обратим внимание на то, что при замене переменной последняя функция должна иметь обратную. В данном интеграле сделана замена . Сложность заключается в том, что таких замен бесконечно много и нужно подобрать такую, чтобы вновь полученный интеграл был проще исходного.
|
Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной дроби на простейшие. Определение: Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. , где и многочлены соответственно степеней m и n. Определение: Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. , в противном случае рациональная дробь – неправильная. К простейшим рациональным дробям относятся дроби: 1)
2)
3) 4)
|
Интегрирование простейших рациональных дробей.
|
Интеграл: с помощью подстановки всегда сводится к интегралу от рациональной функции: В результате получаем:
|
Вычисление интегралов вида: dx, где , символ рациональности функции. натуральные числа. Пусть наименьшее общее кратное. В данном интеграле сделаем замену , тогда , где целое положительное число для любого , . Далее имеем: и Сделав подстановку, получим: Таким образом, вычисление данного интеграла с помощью указанной замены сводится к вычислению интеграла от рациональной функции.
|
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Задача 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции. Во-первых, мы должны дать определение криволинейной трапеции. Во-вторых, должны дать определение площади криволинейной трапеции. В-третьих, должны указать способ вычисления площади криволинейной трапеции. Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная прямой l, двумя прямыми, перпендикулярными прямой l и непрерывной кривой, которая расположена по одну сторону от прямой l и любой прямой, перпендикулярной l, пересекается не более чем в одной точке.
Если прямую l взять за ось OX; OY OX, тогда определение криволинейной трапеции можно дать следующим образом. |
Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a; x=b и графиком непрерывной функции , .
Далее, определение площади криволинейной трапеции и способ вычисления этой площади дадим одновременно. При решении этих задач мы будем пользоваться следующими известными фактами:
Задача 2. Найти массу неоднородного стержня с плотностью . При решении этой задачи мы будем пользоваться следующими известными фактами:
|
Определение определенного интеграла. Пусть – произвольная функция, заданная на отрезке . Отрезок произвольным способом разобьем на n частей точками: . Это разбиение обозначим через (T), . . В каждом из участков разбиения произвольным способом выберем по точке , . Составим сумму , которая называется интегральной суммой. Заметим, что интегральная сумма зависит как от разбиения (T), так и от выбора точек . Определение. Конечный предел интегральных сумм при называется определенным интегралом от функции на отрезке [a,b]. Определенный интеграл обозначается следующим образом: . называется подынтегральной функцией, подынтегральным выражением, – пределы интегрирования, а – нижний, b – верхний предел интегрирования. Определение определенного интеграла можно записать в следующем виде: , если последний предел существует. Геометрический смысл определенного интеграла. Если подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна на отрезке, то есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.
Механический смысл определенного интеграла. Если подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна на , то есть масса неоднородного стержня с плотностью .
|
Теорема существования определенного интеграла. Если непрерывна на отрезке , то существует. Свойства определенного интеграла. 1) 2) 3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. , с=const. 4) 5) 6) 7) Если знакопостоянна на , то имеет тот же знак, что и . 8) Если , , то .
|
Интеграл с переменным верхним пределом. Пусть непрерывная функция на отрезке . Рассмотрим интеграл , где верхний предел . Верхний предел x и x под знаком интеграла разные и имеют разный смысл. Верхний предел x является произвольной фиксированной точкой отрезка , а x под знаком интеграла является переменной, которая изменяется от a до верхнего предела x. Интеграл называется интегралом с переменным верхним пределом, т.к. верхний предел x может принимать любое значение из отрезка . По условию непрерывна на любом отрезке , , то по теореме существования интеграл существует для любого , поэтому является функцией от x. Далее покажем, что функция является дифференцируемой функцией. Теорема. Если непрерывна на отрезке , то производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции, т.е. является первообразной для подынтегральной функции на , Доказательство. По определению производной где с расположено между и . Последнее равенство имеет место в силу теоремы о среднем. Подставляя вместо полученное выражение, будем иметь . Точка с расположена между и , поэтому при . Так как непрерывна в точке x, то . |
Формула Ньютона-Лейбница. Теорема. Справедлива формула , где Ф(x) какая-либо первообразная для подынтегральной функции . Доказательство. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Этот интеграл является первообразной для функции . Пусть – произвольная другая первообразная для . Две различные первообразные для функции различаются на константу. Поэтому . Положим верхний предел , тогда получим: , отсюда , . В последнем интеграле вместо верхнего предела x подставим , тогда получим: . |
Вычисление площади фигуры в декартовой системе координат.
Определение. Площадью S области D называется , если предел существует. Если данный предел не существует, то область D площади не имеет. Если область D имеет площадь, то она называется квадрируемой. В определении площади области D сумма, стоящая под знаком предела является интегральной суммой для функции , поэтому и . Если и непрерывные функции на отрезке , то по теореме существования определенного интеграла можно утверждать, что область D имеет площадь, т.е. область D квадратируема.
|
Вычисление площади фигуры в полярной системе координат.
Два частных случая.
|
Вычисление длины кривой. Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.
Вычисление объемов тел вращения. Пусть тело является телом вращения криволинейной трапеции вокруг оси OX. В этом случае и . Пусть теперь тело является телом вращения фигуры D, которая не пересекает оси OX, причем любая прямая, параллельная оси OY пересекает границу D не более чем в двух точках. .
|
Несобственные интегралы от функций, заданных на конечном отрезке , но неограниченных на этом отрезке. Пусть функция непрерывна в промежутке и неограниченна на этом промежутке. Рассмотрим произвольное . Интеграл существует, т.к. непрерывна на отрезке . Несобственный интеграл определяется следующим равенством . Если непрерывна в промежутке и неограниченна на нем, то несобственный интеграл определяется аналогично предыдущему интегралу: , где ; . Пусть теперь непрерывна на множестве и неограниченна на этом множестве. Несобственный интеграл определяется следующим равенством: , если оба интеграла справа существуют. Далее рассмотрим случай, когда непрерывна в интервале и неограниченна на этом интервале. Несобственный интеграл определяется равенством: , где a<c<b, при этом оба интеграла в правой части должны существовать, т.е. должны сходиться.
|
Несобственные интегралы от непрерывных функций по бесконечному промежутку. Пусть задана и непрерывна на промежутке . Рассмотрим интеграл, этот интеграл существует , т.к. непрерывна на отрезке . Положим по определению . (1) Интеграл называется несобственным интегралом. Если предел в равенстве (1) существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предел в равенстве (1) не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Пусть теперь функция задана и непрерывна на промежутке . Несобственный интеграл определяется аналогично: Далее, пусть функция задана и непрерывна на всей числовой оси . Несобственный интеграл определяется следующим образом: , при условии, что оба интеграла справа сходятся. Заметим, что вместо 0 можно взять любое конечное число а и при этом сходимость несобственного интеграла и его значение не изменится.
|
Интегрирование по частям в определенном интеграле. Теорема. Справедлива формула . Доказательство. Имеем: . Почленно проинтегрируем последнее равенство . Замена переменной в определенном интеграле. Пусть непрерывна на отрезке и , а функция непрерывна на отрезке . Справедлива формула . Доказательство. Так как непрерывна на , то она на этом отрезке имеет первообразную, которую обозначим . Функция является первообразной для функции на отрезке . В самом деле, применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: , где . Используя формулу Ньютона-Лейбница, получим: . |
Дифференциальные уравнения 1го порядка. В общем виде дифференциальное уравнение первого порядка записывается следующим образом: . В частных случаях в левую часть уравнения в явном виде могут не входить и , но обязательно должна входить производная . Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то его можно представить в следующем виде: Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши. Задача Коши: Найти решение дифуравнения , которое удовлетворяет начальному условию . Теорема Коши: Если функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области, содержащей внутри точку , то уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию , в некотором интервале , т.е. задача Коши имеет единственное решение. Определение: Любое решение задачи Коши называется четным решением дифуравнения. Определение: Совокупность всех частных решений дифуравнения называется общим решением этого уравнения. Графиком частного решения на плоскости является кривая, которая называется интегральной кривой.
|
Дифуравнение с разделяющимися переменными. Определение: Уравнение вида: называется уравнением с разделяющимися переменными. Для решения дифуравнения с разделяющимися переменными надо разделить переменные и проинтегрировать. Однородные дифуравнения первого порядка. Определение: Дифференциальное уравнение вида называется однородным. Это уравнение с помощью замены сводится к решению дифуравнения с разделяющимися переменными. |
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Определение: Дифференциальное уравнение вида: , . называется линейным уравнением. Решение линейного уравнения можно искать в виде: , . Значения для и подставим в данное уравнение. В результате получим тождество: Уравнения Бернулли Определение : Уравнение вида
называется уравнением Бернулли. Если , то уравнение (7) является линейным. Если , то уравнение (7) является уравнением с разделяющимися переменными. |