ЭКЗАМЕН

Интеграл с переменным верхним пределом.

Пусть непрерывная функция на отрезке . Рассмотрим интеграл , где верхний предел . Верхний предел x и x под знаком интеграла разные и имеют разный смысл. Верхний предел x является произвольной фиксированной точкой отрезка , а x под знаком интеграла является переменной, которая изменяется от a до верхнего предела x. Интеграл называется интегралом с переменным верхним пределом, т.к. верхний предел x может принимать любое значение из отрезка . По условию непрерывна на любом отрезке , , то по теореме существования интеграл существует для любого , поэтому является функцией от x.

Далее покажем, что функция является дифференцируемой функцией.

Теорема. Если непрерывна на отрезке , то производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции, т.е. является первообразной для подынтегральной функции на ,

Доказательство.

По определению производной

где с расположено между и .

Последнее равенство имеет место в силу теоремы о среднем. Подставляя вместо полученное выражение, будем иметь

.

Точка с расположена между и , поэтому при . Так как непрерывна в точке x, то .

Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема. Справедлива формула , где Ф(x) какая-либо первообразная для подынтегральной функции .

Доказательство.

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Этот интеграл является первообразной для функции . Пусть – произвольная другая первообразная для . Две различные первообразные для функции различаются на константу. Поэтому . Положим верхний предел , тогда получим: , отсюда , . В последнем интеграле вместо верхнего предела x подставим , тогда получим: .

Вычисление площади фигуры в декартовой системе координат.

Определение. Площадью S области D называется , если предел существует. Если данный предел не существует, то область D площади не имеет. Если область D имеет площадь, то она называется квадрируемой.

В определении площади области D сумма, стоящая под знаком предела является интегральной суммой для функции , поэтому и

.

Если и непрерывные функции на отрезке , то по теореме существования определенного интеграла можно утверждать, что область D имеет площадь, т.е. область D квадратируема.

Вычисление площади фигуры в полярной системе координат.

Два частных случая.

1. Пусть полюс 0 лежит на границе области D. В этом случае , а .

2. Пусть полюс 0 лежит внутри области D

Вычисление длины кривой.

Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.

Вычисление объемов тел вращения.

Пусть тело является телом вращения криволинейной трапеции вокруг оси OX.

В этом случае и .

Пусть теперь тело является телом вращения фигуры D, которая не пересекает оси OX, причем любая прямая, параллельная оси OY пересекает границу D не более чем в двух точках.

.

Несобственные интегралы от функций, заданных на конечном отрезке , но неограниченных на этом отрезке.

Пусть функция непрерывна в промежутке и неограниченна на этом промежутке.

Рассмотрим произвольное .

Интеграл существует, т.к. непрерывна на отрезке .

Несобственный интеграл определяется следующим равенством

.

Если непрерывна в промежутке и неограниченна на нем, то несобственный интеграл определяется аналогично предыдущему интегралу:

, где ; .

Пусть теперь непрерывна на множестве и неограниченна на этом множестве.

Несобственный интеграл определяется следующим равенством:

, если оба интеграла справа существуют.

Далее рассмотрим случай, когда непрерывна в интервале и неограниченна на этом интервале.

Несобственный интеграл определяется равенством:

, где a<c<b, при этом оба интеграла в правой части должны существовать, т.е. должны сходиться.

Несобственные интегралы от непрерывных функций по бесконечному промежутку.

Пусть задана и непрерывна на промежутке .

Рассмотрим интеграл, этот интеграл существует , т.к. непрерывна на отрезке .

Положим по определению

. (1)

Интеграл называется несобственным интегралом. Если предел в равенстве (1) существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предел в равенстве (1) не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Пусть теперь функция задана и непрерывна на промежутке .

Несобственный интеграл определяется аналогично:

Далее, пусть функция задана и непрерывна на всей числовой оси .

Несобственный интеграл определяется следующим образом:

,

при условии, что оба интеграла справа сходятся.

Заметим, что вместо 0 можно взять любое конечное число а и при этом сходимость несобственного интеграла и его значение не изменится.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Справедлива формула .

Доказательство. Имеем: .

Почленно проинтегрируем последнее равенство

.

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть непрерывна на отрезке и , а функция непрерывна на отрезке .

Справедлива формула

.

Доказательство. Так как непрерывна на , то она на этом отрезке имеет первообразную, которую обозначим .

Функция является первообразной для функции на отрезке .

В самом деле, применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: , где .

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получим: .

Дифференциальные уравнения 1го порядка.

В общем виде дифференциальное уравнение первого порядка записывается следующим образом: .

В частных случаях в левую часть уравнения в явном виде могут не входить и , но обязательно должна входить производная .

Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то его можно представить в следующем виде:

Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши.

Задача Коши: Найти решение дифуравнения , которое удовлетворяет начальному условию .

Теорема Коши: Если функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области, содержащей внутри точку , то уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию , в некотором интервале , т.е. задача Коши имеет единственное решение.

Определение: Любое решение задачи Коши называется четным решением дифуравнения.

Определение: Совокупность всех частных решений дифуравнения называется общим решением этого уравнения.

Графиком частного решения на плоскости является кривая, которая называется интегральной кривой.

Дифуравнение с разделяющимися переменными.

Определение: Уравнение вида: называется уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения дифуравнения с разделяющимися переменными надо разделить переменные и проинтегрировать.

Однородные дифуравнения первого порядка.

Определение: Дифференциальное уравнение вида называется однородным.

Это уравнение с помощью замены сводится к решению дифуравнения с разделяющимися переменными.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение: Дифференциальное уравнение вида: , .

называется линейным уравнением.

Решение линейного уравнения можно искать в виде: , . Значения для и подставим в данное уравнение. В результате получим тождество:

Уравнения Бернулли

Определение : Уравнение вида

называется уравнением Бернулли. Если , то уравнение (7) является линейным. Если , то уравнение (7) является уравнением с разделяющимися переменными.