35. Приближенные методы: интерполяция функций полиномами Лагранжа.

Уравнение для определения интерполяционного полинома можно записать в детерминантной форме:

Представив последний столбец в виде суммы, получим отсюда:

Теперь разложим определитель из числителя по последнему столбцу и вспомним выражение определителя Вандермонда. Обозначим

Тогда интерполяционный полином в форме Лагранжа записывается в виде:

Образно говоря, каждое слагаемое в форме Лагранжа «отвечает» исключительно только за свой узел интерполяции (т.е. обеспечивает в нем нужное значение полинома) — и при этом «не портит» остальные узлы (обращается в них в нуль).

Пример.Построить интерполяционный полином по таблице

и с его помощью интерполировать значение неизвестной функции при .

Решение.Имеем:, и полином в форме Лагранжа:

Подставляем сюда :

Ответ..

Рекурсивное вычисление коэффициентов

Теорема.Пусть числавсе различны. Для полиномасправедливы следующиеравенства Эйлера–Лагранжа:

Теорема.Обозначим

Имеют место равенства, связывающие коэффициенты интерполяционного полиномас величинамии:

Формулы позволяют рекурсивно, начиная со старшего, вычислить коэффициенты интерполяционного полинома по величинам и.

Пример.Найти корни интерполяционного полинома, заданного таблицей

Решение.Здесь,

Формулы:

Уравнение легко решается подстановкой.

Ответ..

36. Приближенные методы: интерполяция функций полиномами Эрмита.

Задача [Эрмит]. Построить полином , имеющий заданные значения своих производных в узлах интерполяции:

При узелназываетсяпростым узлом интерполяции, при узелназываетсякратным узлом.

Для случая вещественной интерполяционной таблицы ( ) задаче можно придать следующую геометрическую интерпретацию: требуется провести алгебраическую кривуючерез заданные точкитак, чтобы в каждой точке обеспечить заданные наклоны касательных (а также, возможно, кривизны и т.п.).

§

Интерполяционный полином Эрмита используется в задаче разложения дробно-рациональной функции на простейшие дроби. Сам Эрмит применял его для оценки величины определенного интеграла по значениям функции и ее производных на концах интервала. Еще одно приложение — в задаче вычисления функции от матрицы.

Интерполяционная таблица дает условий на коэффициенты неизвестного полинома. По аналогии состандартной задачей интерполяции, можно ожидать, что искомый полином будет существовать среди полиномов степени . Будем искать этот полином методом неопределенных коэффициентов. Обозначим

Пусть — произвольный полином степени. Разложим дробьнасумму простейших над множеством :

Определим числители дробей с помощью интерполяционных данных. Домножим обе части тождества на, получим:

здесь через обозначена дробно-рациональная функция по, знаменатель которой не обращается в нуль при. Подставим это значениев обе части последнего равенства:

Теперь продифференцируем последнее тождество по , подставими воспользуемся данными интерполяционной таблицы:

Снова продифференцируем по и т.д. В результате получаем:

Аналогично поступаем и с другими узлами интерполяции. В результате, получаем решение задачи в виде интерполяционного полинома Эрмита:

В литературе имеется неоднозначность терминологии — этот же полином называется и интерполяционным полиномом Лагранжа-Сильвестра, и интерполяционным полиномом Серре.

Теорема. Подмножество всевозможных полиномов из ,принимающих значения по таблице, можно представить в виде

здесь —интерполяционный полином Эрмита.

Интерполяционный полином Эрмита является естественным обобщением обычного интерполяционного полинома в форме Лагранжа ( ) иформулы Тейлора ( ).

Можно указать и явное представление для этого полинома — с использованием формализма определителей. На основании правила дифференцирования дробно-рациональной функции, получаем:

Здесь —биномиальный коэффициент. Еще один подход к построению полинома см. ☞ [8].

П

Пример. Построить интерполяционный полином по таблице

Решение. Здесь

Для имееми в формуле Эрмита этому узлу соответствует одно слагаемое:

Для имееми этому узлу соответствует полином

значения которого — вместе с первой и второй производной — в точке должны совпадать с табличными:

Для имеем:

и для определения четырех коэффициентов этого полинома мы имеем четыре условия из таблицы:

Этот же результат можно получить и в виде альтернативного — детерминантного — представления:

и

Наконец, для имеем:

Ответ. .

Построить уравнение «горки»: найти полином из условий .

Следующий результат не очень связан с содержанием настоящего пункта, но надо было куда-то поместить.

Теорема [1]. При заданных существуют а) полином

(т.е. )и б) числа такие, что