27. Элементы теории упругости: основные соотношения теории упругости в случае плоской задачи.

28. Элементы теории упругости: классификация прямых задач теории упругости. Метод решения прямых задач. Полу обратный метод Сен-Венана.

Прямые задачи в которых по заданным граничным условиям необходимо определить полную систему функций. Это сопряжено либо дифференциальными уравнениями в частных производных или с применением полуметода Сен-Венан

задачи I типа на всей поверхности тела нагрузки, на части тела нагрузки может не быть, в этом случаи для напряжений должны выполнятся статические ганичные условия. Т.к. граничные условия накладываются на напряжения, то такие задачи удобнее решать в напряжениях.

I I тип кинематические. На всей поверхности тела заданы перемещения в частности они могут быть равны 0. В этом случаи на всей поверхности тела должно выполнятся соотношение - в этом случаи задачу удобнее решать в перемещениях.

I I I тип.

-условия в виде статических граничных условий

-условия в виде кинематических граничных условий

Полу обратный метод Сен-Венана

1. Исходя из решения задач аналогов, физических закономерностей, основных принципов (симметрии) предполагается форма решения.

2. полученное решение проверяется на соответствие основным уравнениям теории упругости и граничным условиям

3. если данное решение соответствует этим уравнениям, то оно принимается как решение задачи

4. если решение не соответствует, то оно корректируется после чего проверяется п.2

29. Элементы теории упругости: классификация обратных задач теории упругости и порядок их решения.

30. Элементы теории упругости: задача в перемещениях. Вывод уравнений Ламе.

Вдоль оси x:

,

;

;

;

;

;

- Громеко Лэмб

Частный случай уравнения ламе при постоянно распределенных силах.

применим дифференцирование по i-му элементу:

; ;;

;;;

;

; - относит изменения объема

- гармоническое уравнение

; ;;;

;;;;

;;

;

; ;;;- бигармоническое уравнение

Функции, удовлетворяющие биполярному уравнению, - биполярные функции. Т.к. бигармонические функции сложно искать, то их представляют через гармонические функции по соотношению Полковича-Гродского:

, - бигармоническая функция - решение поставленной задачи- гармонические функции, удовлетворяющие тем же граничным условиям, что и. ограничения на силы :,,.

31. Элементы теории упругости: выражение для удельной потенциальной энергии деформации.

Потенциальной энергией деформации называется энергия, накапливаемая в теле при его упругих деформациях. Под действием внешней статической нагрузки тело деформируется, точки приложения внешних сил перемещаются и потенциальная энергия положения внешних нагрузок уменьшается на величину, равную работе внешних сил на вызванных ими перемещениях. Энергия, потерянная внешними силами, не исчезает, а превращается, в основном, в потенциальную энергию деформации тела. Остальная, незначительная часть энергии рассеивается, главным образом, в виде тепла за счет различных процессов, происходящих в материале при его деформации. Вычислим полную потенциальную энергию, накапливаемую в элементарном параллелпипеде при его упругой деформации. В качестве объекта элемент, приведенный на рис.10.1. (10.1)

Рис.10.1 

Потенциальная энергия деформации накапливается в обратимой форме – в процессе разгрузки тела она снова превращается в энергию внешних сил или кинетическую энергию. Величину потенциальной энергии, накапливаемую, в единице объема материала, принято называть удельной потенциальной энергией: (10.2) Подставляя в (10.2) выражения для относительной деформации из (9.73), получаем:(10.3) Выражение (10.3) записано для удельной потенциальной энергии для случая, когда известны значения главных напряжений и деформаций . В том случае, если известны неглавные нормальные напряжения и , касательные напряжения , соответствующие линейные удлинения , и угловые деформации полная потенциальная энергия, накапливаема в элементарном параллелепипеде, равна:(10.4) Удельная потенциальная энергия имеет вид:(10.5) или(10.6) Иногда удельную потенциальную энергию удобно выразить через деформации:(10.7) где ;- объемная деформация; K - объемный модуль упругости (9.85). При деформации элемента меняется как его объем, так и форма (из кубика он превращается в параллелепипед) (Рис.10.1). В связи с этим можно считать, что полная удельная потенциальная энергия деформации состоит из удельной потенциальной энергии изменения объема и удельной потенциальной энергии изменения формы :

(10.8) Вначале вычислим удельную потенциальную энергию изменения объема. Для этого сделаем предположение о том, что в различных элементах (Рис.10.2) при действии разных главных напряжений величина будет одинаковой, если у элементов будет одинаковое изменение объема элемента.

Рис.10.2 

На рис.10.2,а изображен элемент со стороной, равной единице (единичный элемент), нагруженный различными по величине главными напряжениями. На рис.10.2,б приведен вспомогательный единичный элемент, по граням которого действуют одинаковые главные напряжения . Для этого элемента относительное изменение объема будет равно: (10.9) а полная удельная энергия деформаций из формулы (10.3):(10.10) Дополнительный элемент (Рис.10.2,б) при деформации меняет только объем, форма его остается кубической. Следовательно, =0, и значит:(10.11) Величину определим из условия равенства относительных изменений объемов обоих элементов :(10.12) ОтсюдаПоскольку у обоих элементов изменения объемов одинаковы, на основании принятого предположения можно утверждать, что(10.13)