Определение кинетической энергии системы

Из уравнения Лагранжа II рода (15) следует, что нам необходимо продифференцировать кинетическую энергию системы. Найдём её по формуле:

(16)

где J_i – момент инерции i-го тела (элемента механической системы);

ω_i – его абсолютная угловая скорость.

Тензоры инерции тел, входящих в систему (4)–(7) описаны в механической модели ДНГ (см. п. 3.6).

Необходимо определить абсолютную угловую скорость каждого элемента в осях, связанных с этим элементом.

Основание движется относительно инерциального пространства с угловой скоростью ω₀:

(17)

Абсолютную угловую скорость вала можно найти по формуле:

(18)

Абсолютная угловая скорость 1-го кольца:

(19)

Абсолютная угловая скорость 2-го кольца:

(20)

Абсолютная угловая скорость движения ротора:

(21)

Для получения уравнений движения ДНГ, записанных в невращающихся осях, необходимо в выражениях для угловых скоростей кардановых колец (19)–(20) заменить переменные α и β на обобщённые координаты α₁ и β₁.

Для определения связи между α, β и α₁, β₁ найдём угловую скорость ротора относительно вала во вращающихся и в невращающихся осях, приравняем полученные выражения и из получившейся системы уравнений найдём выражения для и , которые затем проинтегрируем [3].

Угловую скорость движения ротора относительно вала в осях x’y’z’ можно найти следующим образом:

(22)

Угловая скорость движения ротора относительно вала в осях xyz:

(23)

При нахождении связи между координатами пренебрегаем величинами третьего и выше порядков малости, сохраняя второй [2]. Также ввиду большой величины скорости собственного вращения маховика считаем, что:

(24)

В итоге получаем следующие выражения, связывающие между собой углы α, β и α₁, β₁:

(25)

Подставив выражения для абсолютных угловых скоростей и тензоров инерции элементов системы в выражение (16) и произведя замену переменных согласно (25), получим кинетическую энергию системы.

Определение обобщённых сил

Правую часть уравнения Лагранжа II рода можно представить в следующем виде [2]:

(26)

где U – силовая функция системы;

R – диссипативная функция Релея;

x – координата.

Силовая функция системы учитывает потенциальную энергию упругой деформации в перемычках подвеса и в скоростной опоре и имеет вид:

(27)

где К_α,β – жёсткость упругой перемычки подвеса вокруг оси α, β;

К_α2,β2 – жёсткость скоростной опоры вокруг оси α₂, β₂.

Диссипативная функция Релея учитывает вязкое трение в материале подвеса, воздушное сопротивление движению маховика в увлечённой массе газа и относительно корпуса:

(28)

где μ_подв – коэффициент вязкого сопротивления движению маховика в увлечённой массе газа;

μ_нп – коэффициент вязкого сопротивления движению маховика относительно корпуса;

μ_В – коэффициент вязкого сопротивления движению вала относительно корпуса.

Уравнения движения

Подставив полученные выражения для кинетической энергии и обобщённой силы в уравнение Лагранжа II рода, а также проведя замену переменных согласно (25), получаем искомые уравнения движения.

В полученных уравнениях пренебрегаем величинами второго и выше порядков малости, а так же составляющими, изменяющимися с частотами, кратными двойной частоте собственного вращения ротора.

Уравнения движения маховика динамически настраиваемого гироскопа, учитывающие угловую податливость скоростной опоры, выглядят следующим образом:

(29)

где α₁, β₁ – углы наклона маховика относительно вала;

α₂, β₂ – углы наклона вала относительно корпуса;

–кинетический момент маховика;

–угловая скорость собственного вращения маховика;

– приведённый осевой момент инерции маховика;

– приведённый экваториальный момент инерции маховика;

– экваториальный и осевой моменты инерции ротора;

–экваториальные и осевой моменты инерции кардановых колец;

–экваториальный и осевой моменты инерции вала;

– кинетический момент вала;

–приведённый осевой момент инерции вала;

–приведённый экваториальный момент инерции вала;

­– кинетический момент карданова кольца;

–приведённый экваториальный момент инерции карданова кольца;

­– коэффициент увлечения оси маховика;

–коэффициент увлечения оси вала;

–коэффициент демпфирования прецессионных движений маховика;

–коэффициент вязкого сопротивления движению маховика в увлечённой массе газа;

–коэффициент вязкого сопротивления движению маховика относительно корпуса;

–коэффициент вязкого сопротивления движению вала относительно корпуса;

­– эффективная жёсткость упругого подвеса;

­– угловая жёсткость подвеса;

–разностный момент инерции;

–угловая жёсткость скоростной опоры;

– удельный момент радиальной коррекции;

– проекция переносной угловой скорости на осьX, Y основания;

– внешние возмущающие моменты, действующие на маховик;

–внешние возмущающие моменты, действующие на вал.

Первые два из полученных уравнений описывают движение маховика относительно вала в осях, не участвующих в собственном вращении, другие два описывают движение вала относительно корпуса в осях, связанных с корпусом.

Анализируя систему (29), можно сделать вывод, что уравнения движения вала и уравнения движения маховика связаны между собой через инерционные и гироскопические составляющие, обусловленные инерционными свойствами кардановых колец.