Теория автоматического управления. Волков В.Д., Смольянинов А.В

надлежности, к которым относят кусочно-линейные и Z (S) - образные функ-

ции принадлежности.

Кусочно-линейные функции принадлежности. К числу таких функ-

ций относят треугольные и трапециевидные функции принадлежности. Ана-

литическая запись треугольной функции принадлежности может быть пред-

ставлена в виде:

Z и S - образные функции принадлежности. В настоящее время ис-

пользуется несколько форм записи указанных функций принадлежности. Так аналитическая запись Z–образной функции принадлежности может быть вы-

ражена следующим образом /117/

651

где a и b – некоторые числа удовлетворяющие условию a b , [a, b] X. При этом если a>0, то зависимость (6.45) соответствует S–образной функции принадлежности, а если a<0 то – Z–образной.

П–образные функции принадлежности. В общем случае П–образная

функция может быть записана в виде

К числу П–образных функций также можно отнести колоколообразную

функцию

6.5.2. Операции над нечеткими множествами

Над нечеткими множествами определены следующие операции /116/

Дополнение. Дополнением нечеткого множества A, заданного на уни-

версуме Х называется нечеткое множество A если

x X A( x ) 1 A( x ).

Пересечение. Пересечением нечетких множеств A и B, заданных на

653

универсуме X называется множество С которое определяется как набольшее

общее подмножество содержащееся одновременно в A и B С A B та-

но функция принадлежности множества С может быть выражена следующим

образом x X C ( x ) ( x ) min A ( x ),(1 B ( x ))

Для рассмотренных операций справедливы следующие фундаменталь-

ные свойства:

Вместе с тем, особо следует подчеркнуть, что для нечетких множеств

6.5.3. Нечеткие и лингвистические переменные

Нечеткая переменная задается тройкой ,X ,A, где – имя пере-

менной, X – область определения (универсум), A – нечеткое множество на универсуме X, определяющее какие значения и с какой степенью истинности может принимать переменная .

В качестве примера можно привести нечеткую переменную характери-

зующую «горячий кофе». /117/ В данном случае = «горячий кофе», универ-

сум X = [0oC, 100oC], (см. зависимость (6.40)) при а

A ( x ) приведен на рис. 6.15.

Рис.6.15. Функция принадлежности нечеткой переменной «горячий кофе»

Над нечеткими переменными определены нечеткие логические опера-

ции min–конъюнкции И ( ), max–дизъюнкции ИЛИ ( ) и отрицания НЕ (–).

Для указанных нечетких логических операций в соответствии с (6.48) –

(6.57) справедливы свойства коммутативности, ассоциативности, дистрибу-

тивности, идемпотентности, а также законы де Моргана.

Лингвистическая переменная /118/, являющаяся обобщением нечеткой переменной, задается пятеркой ,T,X ,G,M, где – имя переменной, Т –

терм-множество, каждый элемент которого (терм) представляется как нечет-

кая переменная на универсуме X, G – синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающие название термов; M – семантические правила, за-

дающие функции принадлежности нечетких термов, порожденных синтакси-

ческими правилами.

Вкачестве примера в /118/ приводится лингвистическая переменная

= «температура в комнате». При этом четверка T,X ,G,M определяет-

ся следующим образом:

универсум X = [5, 35];

терм - множество T = {T1 ,T2 ,T3 }={"холодно", "комфортно", "жар-

ко"} с функциями принадлежности

656

синтаксические правила G , порождающее новые термы с использо-

ванием квантификаторов «не», «очень» и «более-менее»;

семантические правила М:

«не»Ti 1 Ti ( x ),

«очень» Ti ( Ti ( x ))2 ,

«более-менее» Ti Ti ( x ).

Графики функций принадлежности термов «комфортно», «не ком-

фортно», «очень комфортно» и «более-менее комфортно» лингвистической переменной «температура в комнате» приведены на рис. 6.16.

Рис.6.16. Графики функций принадлежности термов «комфортно», «не комфортно»,

«очень комфортно» и «более-менее комфортно»

6.5.4. Нечеткие продукционные модели

Под нечеткой продукционной моделью понимают согласованное мно-

~ ~

жество отдельных нечетких продукционных правил вида « ЕСЛИ A ТО B»,

где A – нечеткая предпосылка, а B – нечеткое заключение. /119/ При этом для построения нечеткой продукционной модели необходимо сформировать базу нечетких продукционных правил и определить:

процедуру введения нечеткости (фаззификации);

процедуру агрегирования предпосылок;

процедуру активизации заключений;

процедуру аккумулирования активизированных заключений;

процедуру приведения к четкости (дефаззификация).

657

Формирование базы правил. Наиболее часто база нечетких продук-

ционных правил записывается в виде структурированного текста, где пред-

посылки и заключения формируются на основе нечетких множеств: /117/

П_N : ЕСЛИ «Условие _N» ТО «Заключение _N» (FN )

В(6.61) обозначено:

«Условие_i» – нечеткая предпосылка, которая в общем виде может быть

«Заключение_i» – нечеткое или четкое заключение, которое может быть

« fi ( Ai )», где Ai – степень истинности заключения i-ого

правила, fi ( Ai ) – монотонная функция;

этой функции;

Fi – весовой коэффициент соответствующего правила принимающий значение из интервала [0, 1].

Фаззификация. Под фаззификацией понимается процедура получение значений функций принадлежности нечетких множеств Ai,j по значениям

всех входных переменных m для всех предпосылок всех нечетких продук658

фикации.

Следует отметить, что при использовании связки И между предпосыл-

ками помимо min–конъюнкции могут применяются операции:

алгебраическое произведение

Ai ( ) Ai ,1 ( ) Ai ,2 ( );

Ai ( ) Ai ,1 ( ) Ai ,2 ( ) Ai ,1 ( ) Ai ,2 ( );

граничная сумма

Ai ( ) min{[ Ai ,1 ( ) Ai ,2 ( )],1}.

Рассмотрим пример агрегирования предпосылок. Пусть необходимо провести агрегирование предпосылки «( 1 есть A1,1) И ( 2 есть A1,2 )», где 1

=14 и 2 =8 входные переменные, A1,1 и A1,2 нечеткие переменные с функ-

циями принадлежности

Тогда

A1,1 A1 ,1 ( 14 ) 0.5 ,

A1,2 A1,2 (8 ) 0.165 .

Поскольку предпосылки связаны операцией И в качестве функции аг-

регирования принимаем min–конъюнкцию

A1 min{ A1,1 (14 ), A1,2 (8 )} 0.5 .

660