Теория автоматического управления. Волков В.Д., Смольянинов А.В

1 = 2 =-1. Тогда, записывая (5.247), получаем

dxˆ

1 u(t ) u(t ) xˆ2(t ), xˆ1(0 ) 1, dt

dxˆ

2 xˆ1(t ) 2[ y(t ) xˆ2(t )], xˆ2(0 ) 1. dt

2. Для синтеза оценивающего устройства первого порядка зададим D=-1, L=1. Ис-

комую матрицу G=(g1 g2) и число H определим из (5.249)

591

3. Полученные с помощью наблюдателей оценки используются вместо соответст-

вующих координат вектора состояний в оптимальном управлении с полной обратной свя-

зью, т.е.

Пример 5.16. Рассмотрим еще один метод синтеза полного наблюдателя на приме-

ре стабилизации перевернутого маятника. Пусть измеряется положение маятника y. Тогда,

в силу выбора переменных состояния: y=x1; y’=x2., матрица выхода С=(1 0).

Проведем синтез методом размещения корней. Назначим собственные значения наблюда-

теля значительно дальше от мнимой оси, чем собственные значения системы. Примем:

*1= -10; *2=-20. Получим следующую матрицу наблюдателя: L=(30 201)T.

Наблюдатель вместе с регулятором состояния образует динамический регулятор,

входом которого является выход объекта, а выходом – управляющее воздействие на объ-

ект (рис. 5.43). Передаточная функция такого регулятора для рассматриваемого примера

Наблюдатель

в точности равны назначенным кор-

Рис. 5.43. Система с наблюдателем состояния ням системы p1=-1; p2=-2 и наблюда-

теля: p3=-10; p4=-20.

В заключение следует отметить недостаток синтезированного наблюдателя – его избыточность. Поскольку одна из переменных состояния v1=y измеряется, следует синте-

зировать наблюдатель, порядок которого меньше порядка модели объекта.

592

5.6.Синтез стохастических систем оптимального управления

5.6.1. Функционалы для оптимизации стохастических процессов

Функционалы (5.175) и (5.177), вычисленные для реализации стохасти-

ческого процесса, являются случайными величинами. Для получения крите-

рия, пригодного для оптимизации управления стохастическим процессом,

функционалы указанных типов, отнесенные к реализации процесса, должны быть усреднены на некотором вероятностном поле /9/.

Пусть для непрерывного управляемого стохастического процесса су-

ществует безусловное распределение вероятностей с плотностью p(t, x, u).

Тогда безусловное математическое ожидание (МО) функционала типа

(5.175), отнесенного к произвольной реализации стохастического процесса,

будет иметь вид

J M [I ] I( x,u)p(t,x,u)dxdu

Величина J неслучайная, и постановка задачи оптимизации управления путем минимизации функционала (5.251) прозрачна в математическом отно-

шении.

Однако на практике часто не может быть «ансамбля реализаций», и ус-

реднение по этому ансамблю является чисто искусственным подходом.

Более плодотворным является подход, когда минимизируется функ-

ционал

Jy My [I ] I( x,u)p( x,u,t Z )dxdu

где p( x,u,t Z ) – условная (апостериорная) плотность вероятности при на593

блюдении величины z в течение рассматриваемого интервала времени; My –

символ условного математического ожидания (УМО).

При бесконечном повышении точности измерения x(t), u(t) условное распределение p( x,u,t Z ) стремиться к - функции с центром в истинных значениях x, u. Функционал (5.252) здесь вырождается в функционал (5.175),

поскольку точно измеряемая реализация ничем от детерминированного про-

цесса не отличается.

В пособии рассматриваются задачи синтеза оптимального управления стохастическими системами для ограниченного круга реализаций: с полной обратной связью и совместного оценивания и управления.

5.6.2. Синтез оптимального управления с полной обратной связью

Пусть поведение объекта управления описывается стохастическим

дифференциальным уравнением Ито /106/

f ( t ,X ( t ),u( t ))dt ( t,X ( t ),u( t ))dW , X ( t1 ) X0 , (5.253)

где X – вектор состояния системы; W(t) – k-мерный стандартный винеров-

ский случайный процесс /107/, не зависящий от X0, (второй член в уравнении

(5.253) характеризует случайные внешние воздействия на объект); (t,x,u) –

матричная функция размера (n k).

Стандартный винеровский случайный процесс, входящий в (5.253),

удовлетворяет условиям: W(t1)=0, M[W(t)] 0 для всех t>t1 вектор W(t) для любых t>t0 распределен по гауссовскому закону, процесс является однород-

ным с независимыми приращениями. Ковариационная функция стандартного винеровского процесса RW(t1,t2)=E min(t1,t2), а производная формально равна

стандартному белому шуму: G(t ) dW . dt

Для нахождения решений стохастических дифференциальных уравне-

ний используется формула дифференцирования Ито. В общем случае приме-

няют численные методы решения /108/.

594

Уравнение (5.257) является нелинейным дифференциальным уравнени-

ем с частными производными второго порядка. Структура управления опре-

деляется в результате максимизации выражения в фигурных скобках (5.258).

Минимальное значение функционала (5.256)

достигается для любой начальной плотности вероятности p0(x). В этом и за-

ключается основное преимущество управления с обратной связью.

Если, как и ранее, обозначить Б(t,x)=- (t,x), то уравнение Беллмана

(5.257) и (5.259) можно переписать в эквивалентной форме

При решении задач синтеза обычно достаточно определить оптималь-

ное управление, а затем использовать его для определения оптимальных пар dn* ( p* ( , ),u( , )) Dn ( t0 , p0 ( x )) при любых начальных условиях. Если плотность вероятности дельтаобразная: p0(x)= (x-x0), то минимум функцио-

нала достигается для любого начального состояния x0.

Пример 5.17. Модель объекта управления имеет вид /9/

.

Сравнивая с общей постановкой задачи имеем:

597

J1 x2 p(T,x)dx. 2 R

Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем:

Б (T ,x ) 1 x2 2

2.Находим структуру оптимального управления из условия минимума выражения

вфигурных скобках:

3. Подставляя полученное выражение для управления в уравнение Беллмана

4. Решение уравнения является четной функцией и может быть записано в виде

Искомое оптимальное управление с обратной связью:

u* ( t,x ) Umax sign( x ).

5.6.3. Синтез оптимальных линейных регуляторов

Уравнение Беллмана (5.257) для задачи управления линейной стохас-

тической системой (5.253) в форме

dX [ A(t )X( t ) B(t )u(t )]dt C(t )dW ,

598

Первое уравнение в (5.266) является уравнением Риккати. Решая сис-

тему (5.266), можно получить оптимальное управление (5.265) с полной об-

ратной связью.

Пример 5.18. Для задачи

dX [ AX(t ) Bu(t )]dt CdW , X(0 ) X0

где T, S, Q – заданные положительные числа; A, B, C- заданные числа.

Требуется найти оптимальное управление с полной обратной связью.

Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем A(t)=A, B(t)=B, C(t)=C, S(t)=S,

Q(t)=Q, =0, t0=t1=0, t2=T. Тогда из (5.265) и (5.266)

5.6.4. Оптимальное управление линейными непрерывными

стохастическими системами с накоплением информации о состоянии

Модели объекта и управления описываются стохастическими диффе-

ренциальными уравнениями Ито /9, 107/

где X – вектор состояния; Y – вектор измерений; W1(t), W2(t) – независимые

стандартные винеровские случайные процессы.

600