Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория автоматического управления. Волков В.Д., Смольянинов А.В

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

25.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 / 6958 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 > Следующая >>>

Решение второго уравнения (5.203) ищется в виде

(t,x )	1	xT K(t )x ,	(5.206)

2

где K(t) – неизвестная симметричная матрица (n n) (матрица коэффициентов обратных связей).

Задачей синтеза является определение матрицы коэффициентов ОС по состоянию К, доставляющей минимум функционалу (5.191). Минимизация функционала при динамических ограничениях в виде дифференциальных уравнений объекта дает условную экстремаль.

Подставляя (5.206) во второе уравнение (5.203), приравнивая к нулю квадратичные формы с использованием правила (5.202), получим уравнение Риккати в виде:

	T	(t )K(t ) K(t )A(t ) K(t )B(t )Q	1	(t )B	T
K(t ) A		(t )K(t ) K(t )A(t ) K(t )B(t )Q		(t )B		(t )K(t ) S(t ),	(5.207)
K(t2 )							(5.207)
K(t2 )

Решая (5.207), находим матрицу обратных связей и явный вид опти-

мального управления (5.205) с полной обратной связью

u* ( t , x ) Q 1 ( t )BT ( t )K ( t )x .

(5.208)

Минимальная величина функционала

min

I(d ) (t

)

xT K( t

d D( t1 ,x0 )

Уравнения (5.207) и (5.208) могут быть представлены в эквивалентной

форме, если обозначить P(t)=-K(t) при Б (t,x )

xT P(t )x. Тогда

(t )P(t ) P(t )A(t )

K(t )B(t )Q

(t )B

(t )P(t ) S(t )

P(t ) A

P(t2 )

u* (t,x ) Q 1(t )BT (t )P(t )x F(t )x

.(5.209)

min

I(d )

P(t

d D( t

,x )

Уравнения такого вида решаются численно.

Синтезированная оптимальная система с полной обратной связью изобра571

жена на рис. 5.40.

	В /105/ показано, что если
	выполняется условие	полной
	управляемости, уравнение Рикка-
	ти имеет единственное решение, к
Рис. 5.40. Система оптимального управления с которому стремятся все		другие
полной обратной связью	решения в обратном времени. Ко-

личество операций на один шаг численного интегрирования матричного уравнения Риккати при большой размерности n имеет порядок (4 16)n3 в за-

висимости от метода численного интегрирования. Поэтому большее практи-

ческое применение линейно-квадратические способы синтеза систем стаби-

лизации находят в стационарных и квазистационарных задачах.

Если t2 =+ , матрицы A, B, S, Q не зависят от времени, система являет-

ся вполне управляемой, то оптимальный регулятор в задаче

				x(	t ) Ax(t ) Bu(t ),
	1 t2		T			T
I		x		(t )Sx(t ) u			(t )Qu(t ) dt min
I	2	x		(t )Sx(t ) u			(t )Qu(t ) dt min	,
	2	t1


определяется соотношением
		u* ( x ) Q 1 BT Px Fx ,						(5.210)
где P – положительно определенная матрица, удовлетворяющая алгебраиче-
скому уравнению Риккати
	AT P PA PBQ 1 BT P S 0 .							(5.211)

Решение этого уравнения, удовлетворяющее критерию Сильвестра,

единственно, а замкнутая система, описываемая уравнением

x(	t ) A BQ 1BT P x(t ),		x(0 ) x	0	,

является асимптотически устойчивой, т.е. стремится к нулю при t .

Проблема синтеза оптимального управления с квадратичным функцио-

налом качества управления получила название задачи Летова – Калмана ана-

572

литического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР).

Необходимо также отметить существование альтернативного подхода к проблеме синтеза оптимальных линейных регуляторов, предложенного А.А.

Красовским: аналитическое конструирование по критерию обобщенной ра-

боты. Основное отличие от ранее рассмотренной задачи АКОР заключается в применении полуопределенного функционала

1 t2

xT (t )S(t )x(t )

ор

xT (t

) x(t

)

, (5.212)

(t )Q(t )u(t )

2 t1

(t,x(t ))

где функция (t,x) определяется только после решения задачи.

Такой подход обосновывается тем, что лишь в отдельных случаях удачного выбора матриц S(t), Q(t), первое найденное решение при класси-

ческом подходе удовлетворяет требованиям практики. Чаще после нахожде-

ния первого решения и моделирования синтезированной системы приходится корректировать минимизируемый функционал и вновь находить решение.

Применение критерия обобщенной работы облегчает однократное решение задачи.

Можно показать, что оптимальное по критерию обобщенной работы управление имеет вид

u* (t,x ) Q 1(t )BT (t )

(t,x )

где (t,x) – решение линейного уравнения в частных производных

(t,x )

A(t )x

S(t )x 0

(5.213)

(t,x )

При этом функция (t,x), доопределяющая функционал, находится по

формуле

(t,x ) T

(t,x )

B(t )Q

(t )B

(t )

x .

573

Для доказательства следует выписать уравнение Беллмана для задачи оптимизации функционала обобщенной работы и убедиться, что функция

(t,x) является его решением. Решение уравнения (5.213) ищется в форме

(t,x ) 1 xT K(t )x , где матрица К имеет тот же смысл, что и в (5.206). При

этом (5.207) записывается в виде

K(t ) AT (t )K(t )

K(t2 )

K(t )A(t ) S(t ), .	(5.214)

Полученное уравнение, в отличие от (5.207), является линейным, по-

скольку в нем отсутствует нелинейный член K ( t )B( t )Q 1 ( t )BT ( t )K ( t ) .

Структура оптимального регулятора определяется аналогично (5.208), а

неопределенный член функционала (5.212) находится по формуле

( t , x ) xT K ( t )B( t )Q 1 ( t )BT ( t )K ( t )x .

(5.215)

Пример 5.13. Рассмотрим некоторые результаты применения метода к стабилиза-

ции верхнего (неустойчивого) положения маятника. Пусть функционал качества управле-

ния имеет вид I ( xT Sx ru2 )dt , где r – положительный весовой коэффициент.

Безусловная экстремаль функционала отвечает желаемому поведению и зависит от выбора весовых коэффициентов. Можно показать, что при улучшенной интегральной квадратич-

ной оценке большие значения коэффициентов веса при производной процесса означают стремление к медленно затухающим экспоненциальным процессам с малыми значениями скоростей. Введение в функционал старших производных позволяет учесть большее раз-

нообразие требований к протеканию процессов. Дополнение функционала членом ru2(t)

означает косвенное ограничение энергии управления.

Примем весовую матрицу S единичной; положим также r=1.

Матрица К коэффициентов ОС находится из соотношения K BT K / r , где матри-

ца K является решением нелинейного матричного уравнения Риккати, следующего из

(5.211).

Уравнения такого вида решаются численно.

В результате численного решения уравнения (5.211) получим матрицу ОС:

K 2,41

2,41 .

574

При этом собственные значения матрицы замкнутой системы получаются следую-

щими: p1=-1; p2=-1,41.

Поскольку при значительной исходной неопределенности трудно сразу выбрать ве-

совые коэффициенты функционала I, то задача решается последовательными приближе-

ниями.

Изменим весовой коэффициент r функционала, приняв r=10. Соответствующая матрица ОС будет равна: К=(2,05 2,05), а собственные значения матрицы замкнутой сис-

темы получаются следующими: p1=-1; p2=-1,05.

Пример 5.14. /9/Для модели объекта

x1(t ) x2(t ),

x2(t ) u(t ) const

требуется найти оптимальное управление с полной обратной связью при квадратичном критерии качества управления вида

	1 T			1			1	0
I		0	u2	( t )dt	xT (T ) x(T ) min,
						0		2
2				2					.

Исходя из общей постановки задачи, имеем

0		1		0			t0	0, t2 T , S( t ) 0
A	0	0	, B		1	,Q( t ) 1, t1
								.

Запишем первое уравнение (5.205) для K(t)=P-1(t), учитывая, что матрица K(t) –

симметрическая:

K		K	0		1	K	11	K	12	K	11	K	12	0		0	0		1
	11	12		0	0										1	0		0	0
	K21	K22				K12		K22		K12		K22								,

K(T ) 1

Или (в развернутой форме)

0
0	d			0
	d		1	0
1			1	d
1		0		d	2

2					.
2					.

K		2K		, K				(T ) d					1	,
K	11	2K	12	, K			11	(T ) d		1				,
	11		12				11			1
												1
K12		K22 ,		K12(T ) 0,
K		1,		K		(T ) d					1
K	22	1,		K	22	(T ) d			2
	22				22				2			2
												2

Отсюда

575

K		(t )	(T t )3		d			(T t )2	d				3	d 2	d
K	11	(t )			d		2	(T t )2	d	1				d 2	d	1
	11	3					2			1	3			2		1
		3									3
					2						2
K12		(t )		(T t )		d2(T t )						d		2
				(T t )

		2								2
K22(t ) (T ) d2 d2

где =(T-t) –время, оставшееся до конца процесса управления.

	Определитель матрицы K(t) равен												4	d		3		d			d	d	.
													12		2		3		1		1		2
	Тогда
														P			P
								P(t ) K 1(t )						11		12
														P12			P22 ,
где
					d		2			2	2d									3 3d 2					3d	1
				P ( t )			2	, P (t )					2	,	P ( t )								2			1
				P ( t )				, P (t )						,	P ( t )											.
			11					12				2				22							3
												2											3
	В результате
u* ( t,x ) Q 1( t )BT ( t )P( t )x P ( t )x											1	P ( t )x				2
									12		1		22			2
2	2d	2		3 3d 2				3d	1
		2		x1		2			1	x2									*						x2
				x1						x2									*						x2
	2					3														u (t,x)							1		x1
.																				u (t,x)				1
.																								1
	Структурная схема системы управления бу-																							s				s




дет иметь вид, представленный на рис. 5.41. Оче-

																					P22(t)
видно, что в установившемся режиме u* (t,x ) 0 ,


поскольку x2=0 и P12(t)=0.

																					P12(t)
	Изложенные методы синтеза алгоритмов оп-


тимального			управления			подразумевают					их		аппа-
тимального			управления			подразумевают					их		аппа-						Рис. 5.41. Структурная схема
ратную реализацию аналоговыми или цифровыми																			Рис. 5.41. Структурная схема
ратную реализацию аналоговыми или цифровыми																					оптимальной системы

средствами для непосредственного управления объектом или процессом. Вместе с тем,

очевидно, что в процессе эксплуатации возможно изменение свойств или характеристик управляемых объектов и, следовательно, синтезированный ранее закон управления может стать существенно не оптимальным в новых условиях.

Объединение этапов синтеза законов (алгоритмов) управления, разработки алго-

ритмов адаптации законов управления по режимам функционирования объекта и реализа-

576

ции полученных законов с помощью современных средств цифрового управления позво-

ляет создать управляющую систему, осуществляющую синтез оптимального управления и само управление практически одновременно в процессе функционирования объекта. По-

добный совмещенный синтез законов управления, реализуемый с использованием различ-

ного рода моделей объектов, является основным в решении задачи оптимизации управле-

ния «в большом» для достижения конечной цели этапа или режима функционирования системы.

5.5.7. Синтез линейных непрерывных детерминированных систем

с прогнозирующей моделью и функционалом обобщенной работы

Алгоритмы с прогнозирующими моделями предполагают возможность использования в ускоренном времени (или в аналитическом виде) динамиче-

ских моделей управляемого процесса. Как отмечалось ранее, речь идет лишь о процессах, модели которых известны априорно с точностью до конечного числа параметров (коэффициентов). В сочетании с программным восстанов-

лением информации о характеристиках объекта идентификация является ос-

новой для реализации беспоисковой параметрической адаптации в практиче-

ских задачах управления.

Прогнозирующую систему управления следует рассматривать как один из вариантов адаптивных оптимальных систем управления. Она представляет собой совокупность взаимосвязанных алгоритмов оценивания (частично про-

граммного восстановления) параметров α управляемого объекта, оценивания его состояния и собственно алгоритмов формирования управления. Послед-

ние реализуются в форме совмещенного синтеза оптимального управления

/32/, т.е. синтеза, связанного с решением оптимизационной задачи непосред-

ственно в процессе функционирования системы управления. При этом синтез осуществляется на основе прогнозирующих моделей, воспроизводящих в ус-

коренном времени неуправляемое, или «свободное», движение объекта.

Пусть процесс описывается дифференциальным уравнением

x	f ( x,t ) ( x,t )u,	(5.216)
	577

а критерий качества управления задан в виде функционала обобщенной ра-

боты (ФОР)

I V3 [ x(t2 )] Q3 [ x( ), ]d

	t1						.	(5.217)
t2							.	(5.217)
t2	*			*
	*			*
U3 u( ), U3 u ( ),							d
t1
где
V3	[ x(t2 )]	1	xT (t2 ) x,
V3	[ x(t2 )]		xT (t2 ) x,
	2			1
Q3	[ x( ),( )]			1		xT x,
Q3	[ x( ),( )]			2		xT x,
				2
U3	[u( ),( )]			1	uT R 1u,
U3	[u( ),( )]			2	uT R 1u,
				2
, , R-1 – заданные квадратные матрицы параметров (последние две могут

быть матричными функциями текущего времени ), причем заданные ска-

лярные функции векторных аргументов						U 3 [ u( ),( )],	U 3* [ u* ( ),( )] (функ-
ции	затрат	на			управление)	таковы,	что	функция
U3 ( u, ) U3* ( u* , ) [					U3 ( u* , )]u	является положительно-определен-
U3 ( u, ) U3* ( u* , ) [			u	*	U3 ( u* , )]u	является положительно-определен-
			u

ной относительно u при любом , принимающей минимальное значение при

u=u*.

Тогда оптимальное в смысле минимума ФОР управление определяется выражением /32/

		U		( u* , )	V	( x,t ) 0,	(5.218)
	u*		3
					x
где полная производная V		Q3 ( xc ,t )			вычислена в силу уравнения свобод-
ного движения объекта
				xc f ( xc ,t ).			(5.219)
Из (5.218) с учетом граничных условий для V следует
					578

t2
V [ xñ(t ),t ] V3 [ xc (t2 )] Q3 [ xc ( ), ]d .	(5.220)
t1

Обозначим общее решение свободного движения (5.219) на интервале

[t,t2] при начальном условии xt=x(t) (где x(t) – текущий вектор состояния управляемого движения (5.216) через

X( x,t, ).

(5.221)

Тогда общее аналитическое выражение алгоритма с прогнозирующей моделью запишется в виде

U (u* ,t )

u* 3

	V3 [ X( x,t,t2 )]

		t2	.	(5.222)
		t2	.	(5.222)
x		Q3 [ X( x,t, ), ]d } ( x,t )
		t1

Решение (5.221) можно интерпретировать как прогноз свободного дви-

жения управляемого объекта до момента времени t2>t. Выражение в фигур-

ных скобках (5.222) есть главная часть функционала, вычисленная на прогно-

зируемом движении.

Для случая степенной функции затрат на управление

u* kj jv ( x,t )

v 1

	V		[X( x,t,t		)]	pj
	V		[X( x,t,t	2	)]	qj
	3			2

		t2				, j 1,r ,	(5.223)


xj		Q3 [X( x,t, ), ]d
		t

где pj, qj – действительные числа, большие единицы, причем	1	1	1,

	pj	qj
kj>0.

Для случая квадратичной функции затрат на управление в ФОР (pj,= qj=2) аналитическая форма алгоритма принимает вид

				t2	T
u* R T ( x,t )				)] Q3		(5.224)
		V3	[ X( x,t,t2		[ X( x,t, ), ]d
		V3	[ X( x,t,t2		[ X( x,t, ), ]d
	x			t

Численный алгоритм системы управления с прогнозирующей моделью

включает операции:

579

- измерение или оценка текущего состояния объекта в дискретные мо-

менты времени, соответствующие началу очередного цикла формирования управления;

-прогнозирование свободного (неуправляемого) движения объекта на заданном интервале [tи ,t2] оптимизации управления (интервал прогнозирова-

ния) с начальными условиями, совпадающими с текущим в момент времени tи состоянием объекта или лежащими в некоторой окрестности этого состоя-

ния;

- вычисление градиента изменения функции V(x,t) для текущего со-

стояния объекта; - формирование сигнала управления.

Конкретные возможности и вычислительные затраты зависят от вари-

анта алгоритма.

Рассматривается задача управления скоростью изменения вектора входных величин. Движение объекта описывается уравнениями

x f ( x, y,t ),

y u.

а минимизируемый ФОР задан в виде:

	t2	1	t2
I V3 [ x(t2	)] Q3 [ x,t ]dt	1	uT R 1u (u* )T R 1u dt .
I V3 [ x(t2	)] Q3 [ x,t ]dt	2	uT R 1u (u* )T R 1u dt .
	t1		t1

Переход от (5.225) с введением обозначений

V(t ) T			V(t ) T
px (t )		,	py (t )

	x(t )			y(t )

дает так называемые уравнения характеристик

f ( x, y,t ),

0 ,

f T

(5.225)

(5.226)

(5.227)

(5.228)

(5.229)

580

<<< < Предыдущая 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 / 6958 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]