3405

Необходимо найти уравнение температурного поля и тепловой поток, а также значения температур на оси t0 и на поверхности tc.

Проинтегрируем уравнения (2.143). При этом произведем замену

dt/dr = u. Тогда уравнение (2.143) запишется:

198

и

Из (2.146) находим С2:

Подставив С1 и С2 в уравнение (2.146), получим:

Полученное уравнение дает возможность вычислить температуру любой точки цилиндрического стержня. Оно показывает, что распределение температуры в круглом стержне подчиняется параболическому закону.

Из уравнения (2.147) при r = 0 найдется температура на оси цилиндра:

Плотность теплового потока на поверхности цилиндра:

Полный тепловой поток с поверхности цилиндра.

потока зависит только от производительности внутренних источников и от величины внешней поверхности r0 через которую проходит тепловой поток.

Пусть теперь заданы граничные условия первого рода, т. е. температура поверхности цилиндра tc. Эти условия соответствуют частному случаю предыдущей задачи, если полагать, что коэффициент теплоотдачи . При этом, очевидно tж tс. Тогда уравнение (2.147) примет вид:

198

Температура на оси цилиндра (при r = 0):

Если необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, заданную в виде (t) = 0 (1+bt), то, интегрируя зависимость

чение в уравнение (2.151) в решая его относительно t, получаем следующую зависимость для температурной кривой:

в) Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним радиусом r1, наружным r2 и постоянным коэффициентом теплопроводности . Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные источники теплоты производительностью qv.

В такой стенке температура будет изменяться только в направлении радиуса и процесс теплопроводности будет описываться уравнением (2.143):

198

Постоянные интегрирования С1 в С2 в последнем уравнении определяются из граничных условий. Рассмотрим случаи, когда теплоотдающей поверхностью являются только внутренняя, или только наружная поверхность, или обе поверхности одновременно.

а) Теплота отводится только через вар поверхность трубы. Будем рассматривать случай, когда заданы граничные условия третьего рода, т. е. температура окружающей среды со стороны наружной поверхности tж2 в постоянный коэффициент теплоотдачи на внешней поверхности трубы (рис. 2.26). При этом граничные условия запишутся следующим образом:

При r = r2 из уравнения (2.146) с учетом найденного выражения для С1 получим:

С учетом

198

Подставляя найденные значения С1 и С2 в уравнение (2.146), получаем выражение для температурного поля:

Для внешней теплоотдающей поверхности (при r = r2)

Плотность теплового потока на теплоотдающей поверхности найдется как

Температура на внутренней поверхности стенки найдется из уравнения (2.153) при подстановке в него значения r = r1:

198

Пусть теперь заданы граничные условия первого рода, т.е. температура теплоотдающей поверхности tc2. Эти условия можно рассматривать как частный случай данной задачи, когда коэффициент теплоотдачи на поверхности достаточно велик (). Тогда температура жидкости будет равна температуре поверхности трубы. С учетом сказанного уравнение (2.153) принимает вид:

б) Теплота отводится только через внутреннюю поверхность трубы (рис. 2.27).

198

t

tc

t0

tc

tж

r

0

2r0

Рис. 2.25 Теплопроводность однородного цилиндрического стержня при наличии внутренних источников теплоты

198

r1

r2

0

Рис. 2.26 Отвод теплоты через наружную поверхность цилиндрической стенки при наличии внутренних источников теплоты

198

r1

r2

0

Рис. 2.27 Отвод теплоты через внутреннюю поверхность цилиндрической стенки при наличии внутренних источников теплоты

При заданных коэффициенте теплоотдачи на внутренней поверхности и температуре среды tж1 граничные условия запишутся:

Аналогично предыдущему случаю из этих уравнений оп-

198

ределяются постоянные С1 и С2 в уравнении (2.146).

После определения постоянных и подстановки их в уравнение (2.146) получим:

Перепад температур между средой и теплоотдающей поверхностью получим, если в уравнение (2.159) подставим значение текущей координаты, равное r1. Тогда

Для случая, когда задана температура теплоотдающей поверхности tc1, что соответствует случаю , уравнение (2.159) принимает вид:

Полагая в этом уравнении r = r2 и соответственно t = tc2 получаем полный температурный напор в стенке:

в) Теплота отводится через внутреннюю и наружную поверхности.

198