3230

В них элементы Wij представляют собой блоки, отра-

жающие непосредственную связь или влияние между i-тым и j-тым уровнями. Элемент Wn,n−1 в суперматрице иерархии

представляет собой единичную матрицу I, которая соответствует циклу на нижнем уровне иерархии. Этот цикл показывает, что каждый элемент нижнего уровня зависит только от самого себя. Такой цикл необходим при представлении иерархий с помощью суперматрицы. Элемент W1,n в суперматрице

холарии отличен от нуля, т.к. в данном случае верхний уровень зависит от самого нижнего.

Сеть можно получить из иерархии, постепенно увеличивая количество учитываемых внешних и внутренних связей между элементами.

Рассмотрим классификацию иерархий, модифицированных с целью перестройки в сети с обратной связью. Будем использовать следующую терминологию для специальных видов иерархий и их модификаций с целью преобразования в системы с обратной связью. Иерархия – это структура, вершиной которой является цель. Супархия (рис. 2.7 а) – структура, идентичная иерархии за исключением того, что она не имеет глобальной цели, а имеет цикл, образованный обратной связью между двумя верхними уровнями. Интархия (рис. 2.7 б) – иерархия с циклом обратной связи между двумя последовательными промежуточными уровнями. Синархия (рис. 2.7 в) – иерархия с циклом обратной связи между двумя нижними уровнями.

Иерархии, в которых произвольное число верхних, средних или нижних уровней объединено в циклы, называются соответственно неосупархиями, неоинтархиями и неосинархиями. Иерархическая сеть вертикальной организацией облегчает понимание и запоминание уровней (рис. 2.7 г).

81

a) б) в) г)

Рис. 2.7. Виды иерархий: а) супархия; б) интархия; в) синархия; г) иерархическая сеть

Кроме того, существуют системы, которые представляют собой совокупности нескольких подсистем с взаимодействующими компонентами. Пример подобной системы показан на рис. 2.8, который демонстрирует приводимую сеть, где группа из двух нижних компонентов взаимодействует с группой из трех циклически связанных верхних уровней (компонентов).

Рис. 2.8. Приводимая система, состоящая из двух неприводимых частей

82

Следует заметить, что где бы ни был расположен компонент – цикл, приоритеты его элементов имеют тенденцию быть выше, чем приоритеты компонентов, ведущих к циклу, поэтому последние могут становиться крайне малыми, обнаруживая часть структуры, не представленную в конечных результатах. Однако если связь от компонента – цикла направлена к нециклическим терминальным узлам или частям иерархии, то приоритеты такого компонента будут оказывать влияние на окончательный результат. Структуры типа иерархии и синархии можно усечь, отбросив верхние части. Тогда для синархии достаточно обработать суперматрицу, соответствующую двум нижним уровням.

Рассмотрим управляющую иерархию. Первоначально отметим, что влияние, представленное вычисленными собственными векторами приоритетов, которые записываются в суперматрицу, должно быть измерено в терминах одного критерия, например, экономического. В другой суперматрице может быть представлено социальное влияние и так далее. Критерии, для которых заполняются отдельные суперматрицы, называются управляющими критериями. Для того чтобы вычислить обобщенные приоритеты влияния по нескольким критериям, мы должны объединить результаты разнородных влияний, полученные на основе нескольких суперматриц. С этой цель. Мы должны сгруппировать управляющие критерии в структуру, которая позволит произвести оценку приоритетов ее элементов и использовать эти приоритеты для взвешивания и усреднения соответствующих предельных приоритетов отдельных суперматриц. Структура управляющих критериев называется управляющей иерархией, которая может быть достаточно сложной. Анализ приоритетов в системе можно проводить в терминах управляющей иерархии с учетом зависимостей между альтернативами нижнего уровня, организованного как сеть

(рис. 2.9).

83

м

Рис. 2.9. Управляющая иерархия

Зависимости могут существовать внутри компонентов и между ними. Верхняя часть управляющей иерархии может представлять собой сеть, если между компонентами управляющей структуры существуют зависимости.

В общем случае, структура проблемы принятия решения может быть представлена множеством взаимосвязанных сетей, результаты обработки которых синтезируются в соответствии с организацией управляющих критериев.

Компоненты в МАС представляет собой совокупность элементов; функция компонента выводится из синергетического взаимодействия элементов и, следовательно, является функцией более высокого порядка, которая не представлена в каком-либо отдельном элементе. Механическое объединение элементов без синергетического взаимодействия не обладает качествами компонента в нашем понимании. В общем случае компоненты сети должны быть синергетически отличны от элементов. Иначе они будут просто механическим объединением частей, не обладающим свойством целостности.

84

Критерии управляющей иерархии, которые используются для сравнения компонентов, расположены на более высоких уровнях, чем подкритерии, используемые для сравнения элементов в компонентах. Другими словами, критерии для сравнения компонентов должны быть более общими, чем критерии для сравнения элементов, из – за большей функциональной сложности компонентов.

Существует два типа управляющих критериев (подкритериев). К первому типу относятся критерии, непосредственно связанные с сетевой структурой, элементы которой сравниваются относительно управляющих критериев. В этом случае управляющий критерий называется критерием, связывающим сравнения. Ко второму типу относятся критерии, не имеющие непосредственной связи с сетевой структурой, но индуцирующие сравнения элементов сети. Такие управляющие критерии называются критериями, индуцирующими сравнения.

При проведении парных сравнений необходимо ответить на следующий общий вопрос: Для заданного управляющего критерия (подкритерия), компонента (элемента) сети, по которому оценивается влияние, и сравниваемой пары компонентов (элементов), насколько сильнее влияние данного объекта из пары на оцениваемый компонент по сравнению с другим объектом в смысле управляющего критерия (подкритерия)?

Способ получения приоритетов влияния из суперматрицы сетевой задачи принятия решений заключается в следующем. Сначала суперматрица преобразуется к такому виду, чтобы сумма элементов в любом ее столбце была равна единице. Такие матрицы называются матрицами, стохастическими по столбцам, или просто стохастическими матрицами. Если матрица является стохастической, то способ вычисления предельных приоритетов будет зависеть от того, является ли матрица проводимой, примитивной и цикличной.

Рассмотрим возможность существования естественный (математически обоснованный) способ преобразования произвольной суперматрицы, в которой суммы элементов в столб-

85

цах обычно больше единицы, в стохастическую матрицу. Приоритет элемента в пределах конкретного компонента не является адекватным индикатором его приоритета в множестве всех компонентов. Элемент компонента с самым высоким приоритетом не обязательно будет лучшим при рассмотрении всех компонентов. Это очевидно, поскольку каждый компонент имеет элемент с максимальным приоритетом, и все такие элементы не могут занимать первое место в системе. Следовательно, необходимо провести непосредственное сравнение взаимосвязанных компонентов согласно их влиянию на каждый компонент системы относительно управляющего критерия более высокого уровня. Каждое сравнение дает вектор приоритетов влияния всех компонентов, записанный в суперматрицу слева (индикаторы строк), на каждый компонент, указанный сверху (индикаторы столбцов). Число сравнений компонентов используются в качестве весовых коэффициентов, на которые умножаются блоки суперматрицы, расположенные в столбце под данным компонентом. Первый элемент вектора умножается на все элементы первого блока в этом столбце, второй – на все элементы второго блока и так далее. Таким образом осуществляется взвешивание блоков в каждом столбце суперматрицы. В результате получается взвешенная суперматрица, которая является стохастической.

Ее дальнейшая обработка позволяет получить желаемые приоритеты элементов путем вычисления предельной суперматрицы. Предельная матрица содержит долговременные или предельные приоритеты влияния каждого элемента системы на все остальные элементы.

При проведении суперматрицы к стохастическому виду возможны ситуации, когда не все элементы некоторого компонента оказывают влияние на элементы другого компонента. Возможно даже, что на некоторый элементы другого компонента. Возможно даже, что на некоторый элемент вообще не влияют элементы другого компонента (нулевой вектор приоритетов) или влияют только некоторые из них. В случае, когда среди собственных векторов в некотором столбце супер-

86

матрицы есть нулевые (но не все векторы являются нулевыми), следует осуществить повторную нормализацию этого столбца. Заметим, что, если все элементы первого компонента влияют на некоторые или все элементы первого компонента влияют на некоторые или все элементы второго. Именно поэтому повторна нормализация некоторых столбцов необходима и естественна при построении взвешенной стохастической суперматрицы.

Если компонент, содержащий альтернативные варианты решений, является компонентом – стоком, который не влияет на другие компоненты, то его можно не включать в суперматрицу, а относящиеся к нему приоритеты использовать в процессе синтеза, после того как будут вычислены предельные приоритеты для суперматрицы. Этот способ позволяет гарантировать сохранения порядка в тех случаях, когда это желательно, используя абсолютные измерения с помощью лингвистических стандартов.

Если компонент, содержащий альтернативы, не является стоком, то его нужно сохранить в суперматрицу, при этом для вычисления приоритетов используется метод парных сравнений (относительное измерение) и, следовательно, порядок может изменяться.

Суперматрицу возводят в степени для того, чтобы увидеть распространение влияния по всем возможным маршрутам графа влияний, которому соответствует суперматрица. Элементы взвешенной суперматрицы показывают непосредственные влияние каждого элементы системы на все другие элементы. Но один элемент может влиять на другой косвенно, оказывая влияние на некоторый третий элемент, который в свою очередь, влияет на второй. Потенциально может существовать множество таких транзитных (третьих) элементов. Поэтому необходимо рассмотреть все возможные маршруты влияния через транзитные элементы. Оценку косвенного влияния во всех парах элементов через один промежуточный элемент можно получить, возведя взвешенную суперматрицу в квадрат. Кроме того, маршрут влияния первого элемента на второй мо-

87

жет включать третий элемент, который влияет на четвертый, а тот, в свою очередь, влияет на второй. Все такие влияния можно увидеть в суперматрицу, возведенной в куб, и так далее. Таким образом, мы имеем бесконечную последовательность матриц влияния: собственно матрица, ее квадрат, куб, четвертая степень и т.д. Обозначим эту последовательность

W k k =1, 2,... . Рассмотрим, является ли предел среднего значе-

1 (1/ N )∑W k (известный как чезаровская сумма) конечным

k →∞ = k 1

и единственным. Из математического анализа известно, что, если последовательность сходится к переделу, то ее чезаровская сумма сходится к тому же самому пределу. Так как последовательность задана целочисленными значениями показателя степени матрицы, достаточно выяснить не сходится к единственному переделу, но среднее чезаровских сумм, соответствующих различным пределам последовательности, дает единственный предел. Оба этих случая могут иметь место при возведении суперматриц в степени. Каноническая форма Жордана для стохастической матрицы W помогает убедиться в том,

денная матрица P такая, что j = PWP −1 . С каждой квадратной

матрицей связана единственная матрица Жордана, которая состоит из квадратных блоков, главные диагонали которых лежат на главной диагонали матрицы. Все элементы матрицы, находящиеся вне этих блоков, равны нулю. Диагональные элементы в каждом блоке равны собственному значению W, элементы, расположенные выше главной диагонали, равны 1, а те, что лежат ниже главной диагонали, раны нулю. Матрица W является прямой суммой блоков матрицы Жордана. Опустив ряд подробностей, можно увидеть, можно увидеть, что предел

limW k существует, если: а) ни одно из собственных значений

k →∞

88

W по модулю не превышает единицы; б) матрица W не имеет собственных значений, равных по модулю единице, кроме того λ = 1 , и, если λ = 1 , то единственное собственное значение, поскольку схоластическая матрица W будет иметь только единичные блоки в канонической форме Жордана.

2.3. Методы, основанные на теории нечетких множеств

Элементы теории нечетких множеств успешно применяются для принятия решений при построении БСС. Особенно это актуально для модернизируемых и совершенствуемых БСС, когда ряд показателей (частных критериев) нельзя выразить количественно. Экспертные оценки альтернативных вариантов по критериям могут быть представлены как нечеткие множества или числа, выраженные с помощью функций принадлежности. Для упорядочения нечетких чисел существует множество методов, которые отличаются друг от друга способом свертки и построения нечетких отношений. Последние можно определить как отношения предпочтительности между объектами. Рассмотрим одну из математических постановок задач принятия решений на основе теории нечетких множеств.

В данном случае критерии определяют некоторые понятия, а оценки альтернатив представляют собой степени соответствия этим понятиям. Пусть имеется множество альтернатив A = {a1 , a2 ,..., am } и множество критериев

C = {С1 , C2 ,..., Cn }, при этом оценки альтернатив по каждому i- му критерию представлены нечеткими множествами:

89

Операция пересечения нечетких множеств может быть реализована разными способами. Иногда пересечение выполняется как умножение, но обычно этой операции соответствует взятие минимума:

μD (a j ) = min μCi (aj ), j =1,...,m

Лучшей считается альтернатива a * , имеющая наибольшее значение функции принадлежности

вклад в общее решение можно представить как взвешенное пересечение:

D = C1α1 ÇC2α2 Ç...Çαn n ,

где αi - весовые коэффициенты соответствующих критериев, которые должны удовлетворять следующим условиям:

Коэффициенты относительной важности можно определить, используя процедуру попарного сравнения критериев.

Рассмотрим метод принятия решений, предполагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения [11].

Приведем постановку задачи в краткой форме. Пусть задано множество альтернатив А и каждая альтернатива характеризуется несколькими критериями качества с номерами j =1, ..., m . Информация о попарном сравнении

альтернатив по каждому критерию качества j представлена в форме отношения предпочтения R j . Таким образом, имеется т

отношений предпочтения R j на множестве А. Требуется выбрать лучшую альтернативу из множества {A, R1, ..., Rm } . Метод многокритериального выбора альтернатив на основе

90